9 Which symmetric matrices S are also orthogonal? Then S^{\mathrm{T}}=S and S^{\mathrm{T}}=S^{-1}.
(a) Show how symmetry and orthogonality lead to S^{2}=I.
(b) What are the possible eigenvalues of S ? Describe all possible \Lambda.
Then S=Q \Lambda Q^{\mathrm{T}} for one of those eigenvalue matrices \Lambda and an orthogonal Q.
Passo 1
O enunciado dá que S é uma matriz real que é ao mesmo tempo simétrica e ortogonal. Isso significa, explicitamente:
Simetria: \;S^{\mathrm{T}}=S.
Ortogonalidade: \;S^{\mathrm{T}}=S^{-1}.
O que se pede:
(a) Mostrar que essas duas propriedades implicam \;S^{2}=I.
(b) Determinar quais valores próprios (autovalores) são possíveis para S e descrever todas as possíveis matrizes diagonais \Lambda que aparecem em uma diagonalização ortogonal S=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}.
Passo 2
Usar diretamente as duas igualdades dadas para relacionar S e S^{-1}.
Da simetria temos \;S^{\mathrm{T}}=S.
Da ortogonalidade temos \;S^{\mathrm{T}}=S^{-1}.
Comparando as duas igualdades obtemos
S = S^{-1}.
Passo 3
A partir de S=S^{-1} multiplicar ambos os lados por S (ou seja, aplicar S à esquerda ou à direita) para obter:
S\cdot S = I,
ou seja
S^{2}=I.
Comentário didático: multiplicar por S é válido porque estamos trabalhando com matrizes quadradas e S^{-1} é o inverso por hipótese; a igualdade S=S^{-1} já diz que S é a própria inversa, então ao multiplicar aparece a identidade.
Passo 4
Agora vamos estudar as consequências de S^{2}=I para os autovalores. Seja (v,\lambda) um autovetor e autovalor de S, com v\neq 0 e
S v = \lambda v.
Aplicando S novamente aos dois lados:
S^{2} v = S(Sv) = S(\lambda v) = \lambda (Sv) = \lambda(\lambda v) = \lambda^{2} v.
Mas sabemos que S^{2}=I, logo S^{2}v = Iv = v. Portanto
\lambda^{2} v = v.
Como v\neq 0, segue que
\lambda^{2}=1.
Assim cada autovalor \lambda satisfaz \lambda^{2}=1, ou seja
\lambda = \pm 1.
Passo 5
Complemento teórico (por que podemos falar de autovalores reais e diagonalização ortogonal): como S é simétrica e real, vale o Teorema Espectral: toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal — isto é, existe uma matriz ortogonal Q tal que
S = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}},
onde \Lambda é diagonal com os autovalores reais de S na diagonal. (Breve justificativa: para S simétrica, v^{\mathrm{T}}Sv é real para qualquer vetor v, o que implica que autovalores são reais; vetores próprios de autovalores distintos são ortogonais; a partir disso constrói-se uma base ortonormal de autovetores.)
Passo 6
Combinar o resultado de S^{2}=I com a diagonalização. Se S = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}}, então
Q \Lambda^{2} Q^{\mathrm{T}} = Q I Q^{\mathrm{T}} \quad\Longrightarrow\quad \Lambda^{2} = I.
Como \Lambda é diagonal com entradas que são autovalores, isto diz que cada entrada diagonal \lambda_{i} satisfaz \lambda_{i}^{2}=1, portanto cada \lambda_{i}=\pm 1.
Passo 7
Descrever todas as possíveis \Lambda: são exatamente as matrizes diagonais que têm apenas entradas \pm 1 na diagonal. Ou seja, para algum inteiro k (entre 0 e n, no caso de matrizes n\times n):
A ordem dos 1's e -1's na diagonal é irrelevante dentro da possibilidade de permutar colunas/linhas em Q; o que importa é as multiplicidades (dimensões) dos espaços próprios correspondentes a +1 e a -1.
Passo 8
Verificação do recíproco (para completar a classificação): se Q é ortogonal e \Lambda é uma matriz diagonal com entradas \pm 1, então
\;S=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}} é simétrica, porque \Lambda^{\mathrm{T}}=\Lambda e (Q\Lambda Q^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}.
\;S é ortogonal, porque
S^{\mathrm{T}}S = (Q\Lambda Q^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}(Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}) = Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}Q\Lambda Q^{\mathrm{T}} = Q\Lambda^{2}Q^{\mathrm{T}} = Q I Q^{\mathrm{T}} = I.
Portanto toda matriz da forma Q\Lambda Q^{\mathrm{T}} com \Lambda diagonal de \pm 1 é de fato simétrica e ortogonal.
Passo 9
Interpretação geométrica e conclusão final (um toque motivador): tais matrizes são involuções ortogonais — aplicá-las duas vezes devolve o vetor inicial — e representam reflexões ou reflexões compostas: o subespaço próprio associado a +1 é o conjunto de vetores fixos; o subespaço próprio associado a -1 é o conjunto de vetores que têm sinal trocado. Assim toda simétrica ortogonal é, essencialmente, uma reflexão (ou identidade, ou -I, ou combinação dessas em subespaços ortogonais).
Resposta
(a) \;S^{2}=I.\n
(b) Os autovalores possíveis são \;+1 e -1. Todas as \Lambda possíveis são matrizes diagonais com entradas somente \pm 1, i.e. \displaystyle \Lambda=\operatorname{diag}(\underbrace{1,\dots,1}_{k},\underbrace{-1,\dots,-1}_{n-k}) para algum k\in\{0,\dots,n\}.