O que é pedido: encontrar os autovalores \lambda_1,\lambda_2 e autovetores unitários x_1,x_2 de cada matriz e escrever cada matriz como \lambda_{1} x_{1} x_{1}^{\mathrm{T}}+\lambda_{2} x_{2} x_{2}^{\mathrm{T}}.]
Passo 2
Breve explicação do que vamos usar (sem pular etapas).
Para uma matriz simétrica A\in\mathbb{R}^{2\times2}, o polinômio característico é \det(A-\lambda I). As raízes são os autovalores \lambda.
Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter um autovetor v.
Normalizamos v dividindo pelo seu comprimento para obter um vetor unitário x com \|x\|=1.
O produto externo x x^{\mathrm{T}} é a matriz 2\times2 cujas entradas são x_i x_j. A representação espectral em 2\times2 é
A primeira linha dá -16 v_1+12 v_2=0 então 12 v_2=16 v_1 e v_2=\tfrac{16}{12}v_1=\tfrac{4}{3}v_1. Tomando v_1=3 obtemos v=(3,4)^{\mathrm{T}}.
Para \lambda=0 resolvemos B v=0. Um vetor não-nulo ortogonal a (3,4) é (-4,3), que satisfaz B(-4,3)^{\mathrm{T}}=0 (isto corresponde ao espaço nulo, já que \det B=0).]
Passo 9
Normalização dos autovetores de B.
Para v=(3,4)^{\mathrm{T}}, \|v\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. O vetor unitário é
Note que y_1 e y_2 são ortonormais: \langle y_1,y_2\rangle=0.]
Passo 10
Pequena verificação para fixar a intuição (opcional, sem repetir a forma final).
Para B espera-se que toda a contribuição venha do autovalor 25 na direção y_1, já que o outro autovalor é 0. Isto implica que B é uma matriz de posto 1 e pode ser reconstruída como 25\,y_1 y_1^{\mathrm{T}}. Para S haverá contribuições de ambos os autovalores 4 e 2.