5 Write S and B in the form \lambda_{1} x_{1} x_{1}^{\mathrm{T}}+\lambda_{2} x_{2} x_{2}^{\mathrm{T}} of the spectral theorem Q \Lambda Q^{T} :
S=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{rr} 9 & 12 \\\\ 12 & 16 \end{array}\right] \quad\left(\text { keep }\left\|x_{1}\right\|=\left\|x_{2}\right\|=1\right) .

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes simétricas S e B e pede que as escrevamos na forma espectral
\lambda_{1} x_{1} x_{1}^{\mathrm{T}}+\lambda_{2} x_{2} x_{2}^{\mathrm{T}}
mantendo \|x_{1}\|=\|x_{2}\|=1. Os dados são:
S=\begin{bmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 3\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}9 & 12\\[4pt]12 & 16\end{bmatrix}.
O que é pedido: encontrar os autovalores \lambda_1,\lambda_2 e autovetores unitários x_1,x_2 de cada matriz e escrever cada matriz como \lambda_{1} x_{1} x_{1}^{\mathrm{T}}+\lambda_{2} x_{2} x_{2}^{\mathrm{T}}.]

Passo 2

Breve explicação do que vamos usar (sem pular etapas).
  • Para uma matriz simétrica A\in\mathbb{R}^{2\times2}, o polinômio característico é \det(A-\lambda I). As raízes são os autovalores \lambda.
  • Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter um autovetor v.
  • Normalizamos v dividindo pelo seu comprimento para obter um vetor unitário x com \|x\|=1.
  • O produto externo x x^{\mathrm{T}} é a matriz 2\times2 cujas entradas são x_i x_j. A representação espectral em 2\times2 é
A=\lambda_1 x_1 x_1^{\mathrm{T}}+\lambda_2 x_2 x_2^{\mathrm{T}},
com x_1,x_2 ortonormais.

Passo 3

Cálculo dos autovalores de S.
\det\!\big(S-\lambda I\big)=\det\begin{bmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]1 & 3-\lambda\end{bmatrix}=(3-\lambda)^2-1.
Expandindo:
(3-\lambda)^2-1=(9-6\lambda+\lambda^2)-1=\lambda^2-6\lambda+8.
Resolvendo \lambda^2-6\lambda+8=0 por fatoração:
\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2)=0.
Logo os autovalores são \lambda=4 e \lambda=2.]

Passo 4

Autovetores de S (para cada autovalor).
  • Para \lambda=4 resolvemos (S-4I)v=0:
\begin{bmatrix}3-4 & 1\\[4pt]1 & 3-4\end{bmatrix}v =\begin{bmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{bmatrix}=0.
Da primeira linha -v_1+v_2=0 segue v_2=v_1. Podemos escolher v=(1,1)^{\mathrm{T}}.
  • Para \lambda=2 resolvemos (S-2I)v=0:
\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{bmatrix}=0,
daqui v_1+v_2=0 então v_2=-v_1. Podemos escolher v=(1,-1)^{\mathrm{T}}.]

Passo 5

Normalização dos autovetores de S (torna-os unitários).
  • Para v=(1,1)^{\mathrm{T}}, o comprimento é \|v\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. O vetor unitário é
x_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix}.
  • Para v=(1,-1)^{\mathrm{T}}, o comprimento é também \sqrt{2}. O vetor unitário é
x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\end{bmatrix}.
Note que x_1 e x_2 são ortonormais: \langle x_1,x_2\rangle=0.]

Passo 6

Comentário sobre formar a soma espectral (procedimento).
  • Para formar \lambda x x^{\mathrm{T}} calcula-se primeiro x x^{\mathrm{T}} que é a matriz
x x^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}x_1^2 & x_1 x_2\\[4pt]x_1 x_2 & x_2^2\end{bmatrix}.
  • Depois multiplica-se essa matriz por \lambda e soma-se as contribuições dos dois autovalores.
(Guardamos a forma final consolidada para a seção de resposta conforme pedido.)]

Passo 7

Cálculo dos autovalores de B.
\det\!\big(B-\lambda I\big)=\det\begin{bmatrix}9-\lambda & 12\\[4pt]12 & 16-\lambda\end{bmatrix}=(9-\lambda)(16-\lambda)-144.
Expandindo:
(9-\lambda)(16-\lambda)-144=(144-25\lambda+\lambda^2)-144=\lambda^2-25\lambda.
Assim o polinômio característico é \lambda(\lambda-25)=0. Logo os autovalores são \lambda=25 e \lambda=0.]

Passo 8

Autovetores de B.
  • Para \lambda=25 resolvemos (B-25I)v=0:
\begin{bmatrix}9-25 & 12\\[4pt]12 & 16-25\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-16 & 12\\[4pt]12 & -9\end{bmatrix}.
A primeira linha dá -16 v_1+12 v_2=0 então 12 v_2=16 v_1 e v_2=\tfrac{16}{12}v_1=\tfrac{4}{3}v_1. Tomando v_1=3 obtemos v=(3,4)^{\mathrm{T}}.
  • Para \lambda=0 resolvemos B v=0. Um vetor não-nulo ortogonal a (3,4) é (-4,3), que satisfaz B(-4,3)^{\mathrm{T}}=0 (isto corresponde ao espaço nulo, já que \det B=0).]

Passo 9

Normalização dos autovetores de B.
  • Para v=(3,4)^{\mathrm{T}}, \|v\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. O vetor unitário é
y_1=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}.
  • Para v=(-4,3)^{\mathrm{T}}, \|v\|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5. O vetor unitário é
y_2=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-4\\[4pt]3\end{bmatrix}.
Note que y_1 e y_2 são ortonormais: \langle y_1,y_2\rangle=0.]

Passo 10

Pequena verificação para fixar a intuição (opcional, sem repetir a forma final).
  • Para B espera-se que toda a contribuição venha do autovalor 25 na direção y_1, já que o outro autovalor é 0. Isto implica que B é uma matriz de posto 1 e pode ser reconstruída como 25\,y_1 y_1^{\mathrm{T}}. Para S haverá contribuições de ambos os autovalores 4 e 2.

Resposta

S=4\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix}\right)\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix}\right)^{\mathrm{T}}+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\end{bmatrix}\right)\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\end{bmatrix}\right)^{\mathrm{T}}
B=25\left(\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}\right)\!\left(\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}\right)^{\mathrm{T}}+0\left(\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}-4\\[4pt]3\end{bmatrix}\right)\!\left(\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}-4\\[4pt]3\end{bmatrix}\right)^{\mathrm{T}}]

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