2 Which of
has two positive eigenvalues? Use a test, don’t compute the
's. Also find an
so that
, so
is not positive definite.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar qual das matrizes
tem duas autovalores positivos (ou seja, ambas as autovalores ). - Encontrar um vetor
tal que , mostrando que não é definida positiva.
Informações dadas (as matrizes):
Passo 2
Qual teste vamos usar e por quê (explicação didática, passo a passo):
- Todas as matrizes dadas são simétricas. Para uma matriz simétrica
a condição de ser definida positiva é equivalente (critério de Sylvester) a: -
(o menor principal menor — o elemento (1,1)); e -
(o determinante, que é o segundo menor principal).
Se ambas são verdadeiras, então ambas as autovalores são positivas.
Se, então os autovalores têm sinais opostos (produto = determinante < 0), logo a matriz é indefinida.
See , então ambos os autovalores são negativos (matriz definida negativa).
-
- Outra relação útil:
é o produto das autovalores e é a soma das autovalores. Isso ajuda a interpretar sinais sem calcular os autovalores.]
Passo 3
Aplicando o teste em
:
- Primeiro menor principal:
. Portanto . - Determinante:
- Como
, o produto das autovalores é negativo, então os autovalores têm sinais opostos: um é positivo e o outro é negativo. Conclusão: NÃO tem duas autovalores positivas.
Passo 4
Exibir explicitamente um
com
(cálculo passo a passo):
- Fórmula da forma quadrática para
e : - Escolha inteira e simples que dê negativo: tome
. Agora calculamos: Calcule termo a termo: Somando: - Portanto
satisfaz . Isso prova que não é definida positiva.
Passo 5
Aplicando o teste em
:
- Primeiro menor principal:
. - Determinante:
- Quando
e , ambos os autovalores são negativos (matriz definida negativa). Conclusão: tem zero autovalores positivos.
Passo 6
Aplicando o teste em
:
- Primeiro menor principal:
. - Determinante:
-
significa que o produto das autovalores é zero, logo uma autovalor é e a outra é (positiva). Conclusão: tem exatamente um autovalor positivo (e um zero), não dois positivos.
Passo 7
Aplicando o teste em
:
- Primeiro menor principal:
. - Determinante:
- Como
e , pelo critério de Sylvester é definida positiva, logo ambas as autovalores são positivas. Conclusão: tem duas autovalores positivas.
Passo 8
Resposta final e resumo curto:
- Apenas
tem duas autovalores positivas. - Um vetor que prova que
não é definida positiva é , pois .