2 Which of S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4} has two positive eigenvalues? Use a test, don’t compute the \lambda 's. Also find an \boldsymbol{x} so that \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} S_{1} \boldsymbol{x}<0, so S_{1} is not positive definite.
S_{1}=\left[\begin{array}{ll} 5 & 6 \\ 6 & 7 \end{array}\right] \quad S_{2}=\left[\begin{array}{ll} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{array}\right] \quad S_{3}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 10 \\ 10 & 100 \end{array}\right] \quad S_{4}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 10 \\ 10 & 101 \end{array}\right] .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar qual das matrizes S_{1},S_{2},S_{3},S_{4} tem duas autovalores positivos (ou seja, ambas as autovalores >0).
  • Encontrar um vetor \boldsymbol{x} tal que \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} S_{1}\boldsymbol{x}<0, mostrando que S_{1} não é definida positiva.
Informações dadas (as matrizes):
S_{1}=\begin{pmatrix}5 & 6\\[4pt]6 & 7\end{pmatrix},\quad S_{2}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]-2 & -5\end{pmatrix},\quad S_{3}=\begin{pmatrix}1 & 10\\[4pt]10 & 100\end{pmatrix},\quad S_{4}=\begin{pmatrix}1 & 10\\[4pt]10 & 101\end{pmatrix}.]

Passo 2

Qual teste vamos usar e por quê (explicação didática, passo a passo):
  • Todas as matrizes dadas são simétricas. Para uma matriz simétrica 2\times2 A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix},a condição de ser definida positiva é equivalente (critério de Sylvester) a:
    1. a>0 (o menor principal menor — o elemento (1,1)); e
    2. \det(A)>0 (o determinante, que é o segundo menor principal).
      Se ambas são verdadeiras, então ambas as autovalores são positivas.
      Se \det(A)<0, então os autovalores têm sinais opostos (produto = determinante < 0), logo a matriz é indefinida.
      Se a<0 e \det(A)>0, então ambos os autovalores são negativos (matriz definida negativa).
  • Outra relação útil: \det(A) é o produto das autovalores e \operatorname{tr}(A) é a soma das autovalores. Isso ajuda a interpretar sinais sem calcular os autovalores.]

Passo 3

Aplicando o teste em S_{1}:
  • Primeiro menor principal: a=5. Portanto a>0.
  • Determinante: \det(S_{1}) = 5\cdot 7 - 6\cdot 6 = 35 - 36 = -1.
  • Como \det(S_{1})=-1<0, o produto das autovalores é negativo, então os autovalores têm sinais opostos: um é positivo e o outro é negativo. Conclusão: S_{1} NÃO tem duas autovalores positivas.

Passo 4

Exibir explicitamente um \boldsymbol{x} com \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} S_{1}\boldsymbol{x}<0 (cálculo passo a passo):
  • Fórmula da forma quadrática para S_{1} e \boldsymbol{x}=(x_1,x_2)^{\mathrm{T}}: \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} S_{1}\boldsymbol{x} =5 x_{1}^{2} + 2\cdot 6\,x_{1}x_{2} + 7 x_{2}^{2} =5x_{1}^{2}+12x_{1}x_{2}+7x_{2}^{2}.
  • Escolha inteira e simples que dê negativo: tome \boldsymbol{x}=(5,-4)^{\mathrm{T}}. Agora calculamos: \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} S_{1}\boldsymbol{x} =5\cdot 5^{2} + 12\cdot(5)(-4) + 7\cdot(-4)^{2}.Calcule termo a termo: 5\cdot 25 =125,\qquad 12\cdot 5\cdot(-4) = -240,\qquad 7\cdot 16=112.Somando: 125 -240 +112 = -3 <0.
  • Portanto \boldsymbol{x}=(5,-4)^{\mathrm{T}} satisfaz \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} S_{1}\boldsymbol{x}=-3<0. Isso prova que S_{1} não é definida positiva.

Passo 5

Aplicando o teste em S_{2}:
  • Primeiro menor principal: a=-1<0.
  • Determinante: \det(S_{2}) = (-1)(-5) - (-2)^{2} = 5 - 4 = 1 >0.
  • Quando a<0 e \det>0, ambos os autovalores são negativos (matriz definida negativa). Conclusão: S_{2} tem zero autovalores positivos.

Passo 6

Aplicando o teste em S_{3}:
  • Primeiro menor principal: a=1>0.
  • Determinante: \det(S_{3}) = 1\cdot 100 - 10\cdot 10 = 100 - 100 = 0.
  • \det(S_{3})=0 significa que o produto das autovalores é zero, logo uma autovalor é 0 e a outra é \operatorname{tr}(S_{3})=1+100=101 (positiva). Conclusão: S_{3} tem exatamente um autovalor positivo (e um zero), não dois positivos.

Passo 7

Aplicando o teste em S_{4}:
  • Primeiro menor principal: a=1>0.
  • Determinante: \det(S_{4}) = 1\cdot 101 - 10\cdot 10 = 101 - 100 = 1 >0.
  • Como a>0 e \det>0, pelo critério de Sylvester S_{4} é definida positiva, logo ambas as autovalores são positivas. Conclusão: S_{4} tem duas autovalores positivas.

Passo 8

Resposta final e resumo curto:
  • Apenas S_{4} tem duas autovalores positivas.
  • Um vetor que prova que S_{1} não é definida positiva é \boldsymbol{x}=(5,-4)^{\mathrm{T}}, pois \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} S_{1}\boldsymbol{x}=-3<0.

Resposta

S_{4}
\displaystyle \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]-4\end{pmatrix}]

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