\{x \in \mathbb{R}; \frac{x^2-4}{x-2} = 0\}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} tais que
\frac{x^2-4}{x-2}=0.
Informações dadas: a expressão é uma fração racional com numerador x^2-4 e denominador x-2. Não há outras condições explícitas, mas sempre devemos lembrar que a fração só está definida quando o denominador é diferente de zero.

Passo 2

Regra importante (explicação didática): uma fração \dfrac{A}{B} é igual a zero exatamente quando o numerador A é zero e o denominador B é diferente de zero. Por quê? Porque só podemos ter \dfrac{A}{B}=0 se existir um número real que multiplicado por B A; isto implica A=0. Se B=0 a expressão não está definida, então não serve como solução. Portanto, ao resolver \dfrac{x^2-4}{x-2}=0 devemos procurar as raízes do numerador e descartar quaisquer valores que anulem o denominador.

Passo 3

Fatore o numerador usando a identidade diferença de quadrados:
x^2-4=(x-2)(x+2).
A diferença de quadrados é a fórmula \,a^2-b^2=(a-b)(a+b)\,. Aqui a=x e b=2.

Passo 4

Agora imponha que o numerador seja zero:
(x-2)(x+2)=0.
Isso acontece quando x-2=0 ou x+2=0. Portanto obtemos as candidatas
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Mas lembre-se do passo 2: devemos excluir valores que anulam o denominador. O denominador é x-2, que se anula em x=2. Logo x=2 não é permitido porque tornaria a fração indefinida. Assim sobra apenas x=-2.
Observação adicional (sobre simplificação): para x\neq2 podemos simplificar \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. Resolver x+2=0 x=-2, concordando com a exclusão de x=2.

Passo 5

Verificação final: substituindo x=-2 na expressão original,
\frac{(-2)^2-4}{-2-2}=\frac{4-4}{-4}=\frac{0}{-4}=0,
e o denominador não é zero, então x=-2 é solução válida. Para x=2 a expressão fica com denominador zero e portanto não é solução.

Resposta

\{-2\}

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