\{x \in \mathbb{R}; \frac{x^2-1}{x+1} = 0\}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem
\frac{x^2-1}{x+1}=0.
Informações dadas que são relevantes:
  • A expressão é uma fração com numerador x^2-1 e denominador x+1.
  • Importante: o denominador não pode ser zero, então x\neq -1.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicada devagar): uma fração \dfrac{A}{B} é igual a zero exatamente quando o numerador A é zero e o denominador B é diferente de zero. Por quê? Se A=0 e B\neq 0, então \dfrac{A}{B}=0. Se B=0 a fração não está definida. Se A\neq 0 e B é finito, a fração não pode ser zero porque dividir um número diferente de zero por outro não dá zero. Exemplo rápido: \dfrac{0}{5}=0, \dfrac{3}{5}\neq 0, \dfrac{0}{0} é indefinido.
Aplicando isso ao nosso problema: precisamos resolver o sistema
\begin{cases} x^2-1=0,\\[4pt] x+1\neq 0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o numerador x^2-1=0. Reconhecemos x^2-1 como uma diferença de quadrados. A fórmula geral é
a^2-b^2=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=1, então
x^2-1=(x-1)(x+1).
Portanto a equação x^2-1=0 fica
(x-1)(x+1)=0.
Pelo princípio do produto nulo, uma das duas fatores deve ser zero:
x-1=0 \quad\text{ou}\quad x+1=0.
Resolvendo cada uma:
x-1=0 \implies x=1,
x+1=0 \implies x=-1.

Passo 4

Agora aplicamos a restrição do denominador: lembramos que x\neq -1 porque aí a fração original estaria indefinida. Entre as soluções encontradas x=1 e x=-1, devemos excluir x=-1. Portanto sobra x=1.
Verificação rápida:
  • Substituindo x=1 na expressão original:
\frac{1^2-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0,
funciona.
  • Substituindo x=-1 teríamos divisão por zero:
\frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0},
que é indefinido, então não vale como solução.

Resposta

\{1\}

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