\{x \in \mathbb{R}; \frac{x+1}{x^2-1} = 0\}

Passo 1

O que o problema pede: determinar o conjunto \{x \in \mathbb{R}; \frac{x+1}{x^2-1} = 0\}. Informação dada: o numerador é \,x+1 e o denominador é \,x^2-1. Observação importante (informação relevante do enunciado): a expressão \frac{x+1}{x^2-1} só faz sentido quando o denominador é diferente de zero, ou seja, devemos excluir os valores de x que anulam x^2-1.

Passo 2

Regra geral (explicação didática): uma fração \frac{A}{B} com números reais satisfaz \frac{A}{B}=0 exatamente quando A=0 e B\neq 0. Por que? Se B\neq 0 então podemos multiplicar ambos os lados por B e obter A=0. Se B=0 a expressão \frac{A}{B} não é um número real definido (é indefinida), portanto não pode ser igual a 0. Lembre-se: numerador zero + denominador não-zero → fração zero; denominador zero → expressão indefinida.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: para que \frac{x+1}{x^2-1}=0 devemos ter o numerador zero:
x+1=0.
Resolvendo,
x=-1.

Passo 4

Agora precisamos verificar o denominador nesse candidato x=-1. Calculamos o denominador:
x^2-1 = (-1)^2-1 = 1-1 = 0.
Portanto em x=-1 o denominador é zero, ou seja a expressão \frac{x+1}{x^2-1} é indefinida em x=-1. Isso exclui x=-1 como solução válida.
Adicional (didática sobre fatoração e simplificação): note que
x^2-1=(x-1)(x+1),
e que algebraicamente podemos cancelar o fator (x+1) obtendo a forma simplificada \frac{1}{x-1}, porém essa simplificação só é válida para valores de x que não anulam o fator cancelado; no caso original x=-1 é um ponto removível da expressão simplificada, mas permanece proibido porque no original o denominador é zero. Em outras palavras, a simplificação não cria novas soluções.

Passo 5

Conclusão: o único candidato fornecido pelo numerador é x=-1, mas ele está excluído pela nulidade do denominador. Não existe nenhum outro x\in\mathbb{R} que faça a fração igual a zero.

Resposta

\varnothing

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