\{x \in \mathbb{R}; \frac{x-2}{x^2-4} = 0\}

Passo 1

O que o problema pede: determinar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade
\frac{x-2}{x^{2}-4}=0.
Informações dadas no enunciado:
  • O numerador é x-2.
  • O denominador é x^{2}-4.
  • Observação útil: x^{2}-4 pode ser fatorado como (x-2)(x+2).
    Não vou resolver nada ainda; só listei o que o enunciado fornece e o que é pedido.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado passo a passo): quando uma fração \frac{A}{B} (com A e B números ou expressões) é igual a zero?
  • A regra básica é: \frac{A}{B}=0 se, e somente se, A=0 e B\neq0.
    Por que isso é verdade? Porque uma fração representa uma divisão; para a divisão dar zero o numerador tem que ser zero, mas a divisão por zero é indefinida, então o denominador não pode ser zero. Portanto ao resolver \frac{x-2}{x^{2}-4}=0 devemos procurar x que anulem o numerador e ao mesmo tempo não anulem o denominador.

Passo 3

Aplique a regra ao nosso problema: imponha primeiro que o numerador seja zero.
x-2=0.
Resolvendo isso obtemos
x=2.

Passo 4

Agora verifique a condição sobre o denominador: ele não pode ser zero. Calcule o denominador em x=2. Usando a fatoração que anotamos no Passo 1,
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo x=2,
(2-2)(2+2)=0\cdot 4=0.
Portanto, para x=2 o denominador é zero, o que torna a expressão original indefinida. Logo x=2 não é uma solução válida.

Passo 5

Verificação alternativa e reforço didático (útil na prova): podemos simplificar formalmente a expressão quando x\neq2 cancelando o fator comum (x-2) em numerador e denominador. Para x\neq2 temos
\frac{x-2}{x^{2}-4}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}.
Mas a equação original é válida somente para x que não tornam o denominador zero; portanto a simplificação vale apenas para x\neq2. Agora resolvendo a equação simplificada para x\neq2,
\frac{1}{x+2}=0.
Uma fração \frac{1}{x+2} nunca é zero para nenhum valor real de x (um numerador não nulo dividido por algo finito não pode dar zero). Assim não existe x\neq2 que satisfaça a equação. Juntando com a checagem em x=2 (que foi excluído porque torna o denominador zero), concluímos que não há solução real.

Passo 6

Conclusão final: não existe nenhum x\in\mathbb{R} que satisfaça \frac{x-2}{x^{2}-4}=0. O conjunto solução é, portanto, o conjunto vazio.

Resposta

\varnothing

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