\{x \in \mathbb{R}; \frac{x^2-9}{x+3} = 0\}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto dos números reais x que satisfazem a equação
\frac{x^{2}-9}{x+3}=0.
Informações dadas: a expressão é uma fração algébrica com numerador x^{2}-9 e denominador x+3. Há também uma imagem enviada, mas eu não precisei usar nenhum dado da imagem para resolver esta equação (a equação já está completa no texto).

Passo 2

Primeiro cuidado que sempre devemos ter: uma fração só está bem definida quando o denominador não é zero. Então vamos anotar a restrição do domínio:
x+3\neq 0.
Isso implica
x\neq -3.
Isso significa que, independentemente de mais nada, x=-3 não pode ser solução porque a expressão não existe aí.

Passo 3

Regra importante para frações e zero (aqui vai a “aula”): uma fração \dfrac{A}{B} (com A e B polinômios) é igual a zero exatamente quando o numerador A é zero e o denominador B é diferente de zero. Em símbolos:
\frac{A}{B}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A=0 \text{ e } B\neq 0.
Portanto, para resolver \dfrac{x^{2}-9}{x+3}=0 precisamos achar os x tais que x^{2}-9=0 e ao mesmo tempo x\neq -3.

Passo 4

Agora vamos trabalhar o numerador. Reconhecemos um produto notável: diferença de quadrados.
x^{2}-9 = x^{2}-3^{2} = (x-3)(x+3).
Explicando rápido: (x-3)(x+3)=x^{2}+3x-3x-9=x^{2}-9. Então a equação do numerador vira
(x-3)(x+3)=0.

Passo 5

Usamos a propriedade do produto nulo: se um produto de fatores é zero, pelo menos um dos fatores é zero. Assim
(x-3)(x+3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-3=0 \text{ ou } x+3=0.
Isso nos dá duas candidatas a soluções:
x=3 \quad\text{ou}\quad x=-3.

Passo 6

Agora aplicamos a restrição do denominador que pegamos no Passo 2: x\neq -3. Portanto devemos eliminar x=-3 da lista de candidatos, porque aí a expressão original não está definida. Sobram apenas:
x=3.
Um caminho alternativo (para fixar a ideia): para x\neq -3 podemos simplificar \dfrac{x^{2}-9}{x+3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3. Aí a equação fica x-3=0 e daí x=3. Mas atenção: essa simplificação só é válida se x\neq -3, por isso não perdemos a condição.

Passo 7

Conclusão: o único número real que satisfaz a equação dada é 3. Mantenha o hábito de sempre verificar e anotar a restrição do denominador para não aceitar raízes que tornam a expressão indefinida.

Resposta

\{3\}

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