\{x \in \mathbb{R}; \frac{x+3}{x^2-9} = 0\}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem
\frac{x+3}{x^2-9}=0.
Informações dadas: o numerador é x+3 e o denominador é x^2-9. Importante lembrar que expressões racionais só estão definidas quando o denominador é diferente de zero.

Passo 2

Regra-chave (explicação didática): uma fração \dfrac{A}{B} é igual a zero exatamente quando o numerador é zero e o denominador é não nulo. Ou seja,
\frac{A}{B}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A=0\\ \text{ e }\\ B\neq0.
Por quê? Se A=0 e B\neq0 então 0/B=0. Se A\neq0 então A/B\neq0. O caso A=0 e B=0 0/0, que é indefinido, não igual a zero. Exemplos rápidos: \dfrac{0}{5}=0, mas \dfrac{0}{0} não faz sentido.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: vamos analisar numerador e denominador separadamente. Primeiro fatoramos o denominador para ver suas raízes:
x^2-9=(x-3)(x+3).
Explicação da fatoração: reconhecemos uma diferença de quadrados a^2-b^2=(a-b)(a+b) com a=x e b=3.

Passo 4

Resolver a condição numerador igual a zero:
x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3.
Esse é o candidato que anularia o numerador.

Passo 5

Verificação obrigatória (o ponto crucial): devemos checar o denominador em x=-3:
x^2-9\Big|_{x=-3}=(-3)^2-9=9-9=0.
Como o denominador também é zero em x=-3, a expressão \dfrac{x+3}{x^2-9} está indefinida em x=-3 (caso 0/0). Portanto x=-3 não é solução da equação.

Passo 6

Conclusão final: não existe nenhum x\in\mathbb{R} que torne a fração igual a zero sem tornar o denominador nulo. Logo o conjunto solução é vazio.

Resposta

\varnothing

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