\{x \in \mathbb{R}; \frac{x-1}{x^2+1} = 0\}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto dos números reais x que satisfazem a igualdade
\frac{x-1}{x^2+1}=0.
Informações relevantes dadas:
  • Temos uma fração cujo numerador é x-1 e denominador é x^2+1.
  • Queremos todos os x\in\mathbb{R} que tornam a fração igual a zero.
    Não vou resolver ainda; apenas listei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Regra importante sobre frações: uma fração \dfrac{A}{B} com A e B reais é igual a zero se, e somente se,
  • o numerador A for zero, e
  • o denominador B for diferente de zero.
    Vou explicar por que: se A=0 e B\neq0 então \dfrac{A}{B}=0. Se A\neq0 então \dfrac{A}{B} não pode ser zero (desde que B seja finito e não nulo). E se B=0 a fração não está definida. Portanto, para resolver \dfrac{x-1}{x^2+1}=0 precisamos achar x tal que o numerador seja zero e ao mesmo tempo o denominador não seja zero.

Passo 3

Aplique a regra ao nosso problema: queremos
x-1=0
e
x^2+1\neq0.
Vou resolver cada condição separadamente, começando pelo numerador.

Passo 4

Resolver x-1=0 é uma equação linear simples. Soma-se 1 aos dois lados:
x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Então o único candidato (pela condição do numerador) é x=1.

Passo 5

Agora verificar a condição do denominador para esse candidato: calcule x^2+1 em x=1:
1^2+1=1+1=2.
Como 2\neq0, o denominador não é zero para x=1. Além disso, uma observação geral útil: para todo x\in\mathbb{R} temos x^2\ge0, logo x^2+1\ge1>0. Portanto o denominador nunca é zero para nenhum real x. Isso confirma que não eliminamos x=1 por causa do denominador.

Passo 6

Concluímos que a única solução da equação \dfrac{x-1}{x^2+1}=0 no conjunto dos números reais é x=1. Posso checar substituindo: \dfrac{1-1}{1^2+1}=\dfrac{0}{2}=0, que bate com a igualdade do enunciado.

Resposta

\{1\}

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