\{x \in \mathbb{R}; \frac{x+1}{x-1} = 0\}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto dos números reais x que satisfazem a equação
\frac{x+1}{x-1}=0.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é x+1.
  • O denominador é x-1.
  • A expressão \frac{x+1}{x-1} só faz sentido (está definida) quando o denominador não é zero, ou seja, quando x-1\neq0.

Passo 2

Vamos lembrar de uma propriedade simples e fundamental de frações: para números reais a e b com b\neq0,
\frac{a}{b}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=0.
Explicação didática: se a=0 então claramente \frac{a}{b}=0. Inversamente, se \frac{a}{b}=0 e b\neq0, multiplicando ambos os lados por b obtemos a=0. É crucial exigir b\neq0 porque dividir por zero não é permitido.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, identificamos a=x+1 e b=x-1. Para que a fração seja zero precisamos ter
x+1=0.
Resolvendo essa equação linear temos
x=-1.

Passo 4

Agora precisamos verificar a condição de existência da fração: o denominador não pode ser zero. Calculamos x-1 no candidato x=-1:
-1-1=-2\neq0.
Como o denominador é diferente de zero, a solução x=-1 é válida.

Passo 5

Portanto o único número real que satisfaz a equação é x=-1. Não há outras soluções porque a condição \frac{a}{b}=0 força a=0 e isso deu uma única solução para x.

Resposta

\{-1\}

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