Passo 1
O enunciado pede: Determine todos os
tais que
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação a resolver é
. - Queremos apenas as soluções que sejam números reais.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: passar o
para o outro lado para ver a forma mais direta da equação. Assim temos
Isto diz que o sexto poder de
é
. Intuitivamente, números reais cujo sexto poder é
podem ser
ou
(porque
), mas vamos fazer uma resolução algébrica completa para não ficar dúvida.
Passo 3
Vamos fatorar
usando a identidade de diferença de quadrados. Se chamarmos
e
, temos
. Aplicando,
Isso nos reduz a dois fatores mais simples a analisar.
Passo 4
Agora fatoramos cada um dos fatores usando as fórmulas para soma e diferença de cubos:
- Para a diferença de cubos:
. - Para a soma de cubos:
.
Tomandoe , obtemos
e
Portanto a fatoração completa é
Passo 5
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Analisamos cada fator:
-
dá a solução . -
dá a solução . -
Para
: calculamos o discriminante .
Como
, essa equação quadrática não tem raízes reais (tem duas raízes complexas conjugadas).
- Para
: calculamos o discriminante .
De novo
, então também não há raízes reais aqui.
Logo, os únicos fatores que produzem raízes reais são os lineares, dando
e
.
Passo 6
Resumo e verificação rápida: substituindo
temos
. Substituindo
temos
. As quadráticas não dão soluções reais. Portanto as soluções reais da equação são exatamente
e
.