\{x \in \mathbb{R}; x^6 - 1 = 0\}

Passo 1

O enunciado pede: Determine todos os x\in\mathbb{R} tais que \;x^{6}-1=0.\n
Informações dadas:
  • A equação a resolver é \;x^{6}-1=0.
  • Queremos apenas as soluções que sejam números reais.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: passar o 1 para o outro lado para ver a forma mais direta da equação. Assim temos
x^{6}=1.
Isto diz que o sexto poder de x é 1. Intuitivamente, números reais cujo sexto poder é 1 podem ser 1 ou -1 (porque (-1)^{6}=1), mas vamos fazer uma resolução algébrica completa para não ficar dúvida.

Passo 3

Vamos fatorar \;x^{6}-1 usando a identidade de diferença de quadrados. Se chamarmos a=x^{3} e b=1, temos a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aplicando,
x^{6}-1=(x^{3})^{2}-1^{2}=(x^{3}-1)(x^{3}+1).
Isso nos reduz a dois fatores mais simples a analisar.

Passo 4

Agora fatoramos cada um dos fatores usando as fórmulas para soma e diferença de cubos:
  • Para a diferença de cubos: u^{3}-v^{3}=(u-v)(u^{2}+uv+v^{2}).
  • Para a soma de cubos: u^{3}+v^{3}=(u+v)(u^{2}-uv+v^{2}).
    Tomando u=x e v=1, obtemos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)
e
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
Portanto a fatoração completa é
x^{6}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)(x^{2}-x+1).

Passo 5

Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Analisamos cada fator:
  1. (x-1)=0 dá a solução \;x=1.
  2. (x+1)=0 dá a solução \;x=-1.
  3. Para \;x^{2}+x+1=0: calculamos o discriminante \Delta.
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, essa equação quadrática não tem raízes reais (tem duas raízes complexas conjugadas).
  1. Para \;x^{2}-x+1=0: calculamos o discriminante \Delta.
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
De novo \Delta<0, então também não há raízes reais aqui.
Logo, os únicos fatores que produzem raízes reais são os lineares, dando \;x=1 e \;x=-1.

Passo 6

Resumo e verificação rápida: substituindo \;x=1 temos 1^{6}-1=0. Substituindo \;x=-1 temos (-1)^{6}-1=1-1=0. As quadráticas não dão soluções reais. Portanto as soluções reais da equação são exatamente \;1 e -1.

Resposta

\{-1,\,1\}

Exercícios relacionados