Passo 1
O que o problema pede: encontrar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações dadas (explicitadas):
- O polinômio é
. - Coeficientes identificáveis:
, , . - Pergunta: quais são os valores de
que tornam a igualdade verdadeira?
Passo 2
Observação simples (fatoração por reconhecimento de quadrado perfeito):
Mostre que o trinômio é um quadrado perfeito. Considere a expressão . Desenvolvendo:
Mostre que o trinômio é um quadrado perfeito. Considere a expressão
Logo, a expressão do enunciado é exatamente
. Portanto a equação original pode ser reescrita como
Passo 3
Resolver
: uma potência quadrada só é zero se o fator for zero. Assim,
Explanação didática: quando temos
, isso significa que o “algo” vale zero. Não existem outros valores porque qualquer número diferente de zero ao quadrado dá positivo. Portanto a única solução é
. Esse zero é uma raiz de multiplicidade
(dupla), ou seja, o polinômio se anula em
e muda de sinal com comportamento característico de raiz dupla.
Passo 4
Verificação alternativa (fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática) — útil para checar em provas quando não se reconhece o quadrado perfeito:
A fórmula geral para raízes de é
A fórmula geral para raízes de
onde
,
,
são os coeficientes. Aqui
,
,
. Calcule o discriminante
:
Como
, a fórmula dá uma única raiz (dupla):
Confirmação: o mesmo resultado
. Observação didática:
dá duas raízes reais distintas,
dá uma raiz real dupla,
dá raízes complexas conjugadas.
Passo 5
Checagem final (substituição direta): substitua
em
:
portanto
satisfaz a equação.