\{x \in \mathbb{R}; x^2 - 4x + 4 = 0\}

Passo 1

O que o problema pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem a equação
x^{2} - 4x + 4 = 0.
Informações dadas (explicitadas):
  • O polinômio é x^{2} - 4x + 4.
  • Coeficientes identificáveis: a=1, b=-4, c=4.
  • Pergunta: quais são os valores de x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira?

Passo 2

Observação simples (fatoração por reconhecimento de quadrado perfeito):
Mostre que o trinômio é um quadrado perfeito. Considere a expressão (x-2)^{2}. Desenvolvendo:
(x-2)^{2} = x^{2} - 2\cdot 2\cdot x + 2^{2} = x^{2} - 4x + 4.
Logo, a expressão do enunciado é exatamente (x-2)^{2}. Portanto a equação original pode ser reescrita como
(x-2)^{2} = 0.

Passo 3

Resolver (x-2)^{2}=0: uma potência quadrada só é zero se o fator for zero. Assim,
x-2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
Explanação didática: quando temos (\text{algo})^{2}=0, isso significa que o “algo” vale zero. Não existem outros valores porque qualquer número diferente de zero ao quadrado dá positivo. Portanto a única solução é x=2. Esse zero é uma raiz de multiplicidade 2 (dupla), ou seja, o polinômio se anula em x=2 e muda de sinal com comportamento característico de raiz dupla.

Passo 4

Verificação alternativa (fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática) — útil para checar em provas quando não se reconhece o quadrado perfeito:
A fórmula geral para raízes de ax^{2}+bx+c=0 é
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes. Aqui a=1, b=-4, c=4. Calcule o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 4 = 16-16 = 0.
Como \Delta=0, a fórmula dá uma única raiz (dupla):
x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.
Confirmação: o mesmo resultado x=2. Observação didática: \Delta>0 dá duas raízes reais distintas, \Delta=0 dá uma raiz real dupla, \Delta<0 dá raízes complexas conjugadas.

Passo 5

Checagem final (substituição direta): substitua x=2 em x^{2}-4x+4:
2^{2}-4\cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0,
portanto x=2 satisfaz a equação.

Resposta

\{2\}

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