Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 1 e y = |x| - 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 1 e y = |x| - 1.
Dados importantes fornecidos: as duas curvas são dadas explicitamente por y = x^2 - 1 (parábola com vértice em (0,-1)) e y = |x|-1 (função valor absoluto deslocada para baixo, também com vértice em (0,-1)). A região limitada é a parte comum às duas curvas (fechada), que aparece em torno do eixo vertical próximo a x=0. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e quais equações temos; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo a equação
x^2 - 1 = |x| - 1.
Somando 1 em ambos os lados obtemos
x^2 = |x|.
Reescrevendo isso como produto:
|x|\bigl(|x|-1\bigr)=0.
Portanto as soluções são |x|=0 e |x|=1, isto é x=0 e x=\pm 1. Os pontos de interseção são, então, (0,-1), (1,0) e (-1,0).

Passo 3

Precisamos saber qual curva é a “superior” e qual é a “inferior” entre esses pontos para montar a integral de área. Para x entre 0 e 1 temos |x|=x, e como x>x^2 nesse intervalo (por exemplo 0,5>0,25), resulta que
|x|-1 > x^2-1,
logo y=|x|-1 está acima de y=x^2-1 em (0,1). Por simetria (funções envolvidas são pares em relação a x depois do ajuste em -1) o mesmo ocorre em (-1,0). Assim, a altura entre as curvas em cada x\in[-1,1] é
\bigl(|x|-1\bigr) - \bigl(x^2-1\bigr) = |x| - x^2,
pois os -1 se cancelam.

Passo 4

A fórmula do cálculo de área entre duas curvas y_{\text{top}} e y_{\text{bot}} é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}\bigr)\,dx.Á
Aqui a=-1, b=1 e y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}=|x|-x^2. Portanto
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl(|x|-x^2\bigr)\,dx.Á
Observe que a função integranda f(x)=|x|-x^2 é par (isto é, f(-x)=f(x)), então podemos usar simetria:
\text{Área}=2\int_{0}^{1}\bigl(x-x^2\bigr)\,dx.Á
Agora calculamos a integral passo a passo:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\tfrac{x^2}{2}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \left.\tfrac{x^3}{3}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.
Logo
\int_{0}^{1}\bigl(x-x^2\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}.
Multiplicando por 2 (pela simetria) obtemos a área total:
\text{Área}=2\cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}.Á

Resposta

\tfrac{1}{3}

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