Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 1 e y = |x| - 1.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 1 e y = |x| - 1.
Dados importantes fornecidos: as duas curvas são dadas explicitamente por y = x^2 - 1 (parábola com vértice em (0,-1)) e y = |x|-1 (função valor absoluto deslocada para baixo, também com vértice em (0,-1)). A região limitada é a parte comum às duas curvas (fechada), que aparece em torno do eixo vertical próximo a x=0. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e quais equações temos; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo a equação
x^2 - 1 = |x| - 1.
Somando 1 em ambos os lados obtemos
x^2 = |x|.
Reescrevendo isso como produto:
|x|\bigl(|x|-1\bigr)=0.
Portanto as soluções são |x|=0 e |x|=1, isto é x=0 e x=\pm 1. Os pontos de interseção são, então, (0,-1), (1,0) e (-1,0).
Passo 3
Precisamos saber qual curva é a “superior” e qual é a “inferior” entre esses pontos para montar a integral de área. Para x entre 0 e 1 temos |x|=x, e como x>x^2 nesse intervalo (por exemplo 0,5>0,25), resulta que
|x|-1 > x^2-1,
logo y=|x|-1 está acima de y=x^2-1 em (0,1). Por simetria (funções envolvidas são pares em relação a x depois do ajuste em -1) o mesmo ocorre em (-1,0). Assim, a altura entre as curvas em cada x\in[-1,1] é