\{x \in \mathbb{R}; x^2 - 4 = 0\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a equação
x^{2}-4=0.
Informações dadas: a única expressão que aparece é x^{2}-4 e o objetivo é achar os valores reais de x que tornam essa expressão igual a zero.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a resolução. A equação já está simples:
x^{2}-4=0.
Aqui temos um polinômio quadrático em x. Um método muito direto para esse tipo de expressão é tentar fatorar o lado esquerdo.

Passo 3

Observe que 4 é um quadrado perfeito: 4=2^{2}. Então a expressão x^{2}-4 é da forma diferença de quadrados, que é uma identidade algébrica importante. A identidade é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Explicando devagar: a diferença de dois quadrados sempre se fatoriza em dois fatores lineares, um com sinal negativo e outro com sinal positivo entre a e b.

Passo 4

Aplicando a identidade com a=x e b=2, fatoramos:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Escrevemos então a equação original como
(x-2)(x+2)=0.

Passo 5

Agora usamos a propriedade do produto nulo (zero-produto): se o produto de dois números é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Formalmente, se uv=0 então u=0 ou v=0. Aplicando aqui:
x-2=0 \quad\text{ou}\quad x+2=0.

Passo 6

Resolvendo as duas equações lineares simples:
x-2=0 \Rightarrow x=2,
x+2=0 \Rightarrow x=-2.
Portanto as soluções candidatas são x=2 e x=-2.

Passo 7

Fazer a checagem rápida: substituir na equação original para confirmar.
Substituindo x=2:
2^{2}-4=4-4=0,
substituindo x=-2:
(-2)^{2}-4=4-4=0.
As duas verificações dão 0, então ambas são soluções reais válidas.

Passo 8

Dica prática para prova: ao ver x^{2}-a^{2}=0 pense imediatamente em fatorar como (x-a)(x+a)=0. Alternativa: você também pode resolver pela raiz quadrada isolando x^{2}=4 e tomando raiz quadrada (lembrando de ambos os sinais), o que dá x=\pm 2.

Resposta

\{-2,\,2\}

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