Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os
que satisfazem a equação
Informações dadas: a única expressão que aparece é
e o objetivo é achar os valores reais de
que tornam essa expressão igual a zero.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a resolução. A equação já está simples:
Aqui temos um polinômio quadrático em
. Um método muito direto para esse tipo de expressão é tentar fatorar o lado esquerdo.
Passo 3
Observe que
é um quadrado perfeito:
. Então a expressão
é da forma diferença de quadrados, que é uma identidade algébrica importante. A identidade é:
onde
e
são quaisquer expressões. Explicando devagar: a diferença de dois quadrados sempre se fatoriza em dois fatores lineares, um com sinal negativo e outro com sinal positivo entre
e
.
Passo 4
Aplicando a identidade com
e
, fatoramos:
Escrevemos então a equação original como
Passo 5
Agora usamos a propriedade do produto nulo (zero-produto): se o produto de dois números é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Formalmente, se
então
ou
. Aplicando aqui:
Passo 6
Resolvendo as duas equações lineares simples:
Portanto as soluções candidatas são
e
.
Passo 7
Fazer a checagem rápida: substituir na equação original para confirmar.
Substituindo :
Substituindo
substituindo
:
As duas verificações dão
, então ambas são soluções reais válidas.
Passo 8
Dica prática para prova: ao ver
pense imediatamente em fatorar como
. Alternativa: você também pode resolver pela raiz quadrada isolando
e tomando raiz quadrada (lembrando de ambos os sinais), o que dá
.