\{x \in \mathbb{R}; \frac{x^2+1}{x-1} = 0\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto de todos os números reais x que satisfazem a igualdade
\frac{x^2+1}{x-1}=0.
Informações relevantes dadas:
  • Temos uma expressão racional \frac{x^2+1}{x-1}.
  • Queremos os x\in\mathbb{R} que tornam essa fração igual a 0.

Passo 2

Regra fundamental para frações: uma fração \frac{A}{B} (com A e B expressões) é igual a 0 exatamente quando
  1. o numerador A é zero, e
  2. o denominador B é diferente de zero (pois divisão por zero é indefinida).
    Vou aplicar essa regra ao nosso caso com A=x^2+1 e B=x-1.

Passo 3

Aplicando a regra, devemos resolver o sistema (para x\) reais): \[\begin{cases} x^2+1=0,\\[4pt] x-1\neq 0. \end{cases}
Primeiro tratamos a equação do numerador (x^2+1=0].]

Passo 4

Resolver x^2+1=0. Subtraindo 1 dos dois lados:
x^2=-1.
Agora, pensar nos números reais: x^2 para qualquer x\in\mathbb{R} é sempre \ge 0. Logo não existe x\in\mathbb{R} tal que x^2=-1. Em termos algébricos, a equação não tem solução real (as soluções seriam complexas x=\pm i, mas nós só queremos reais).

Passo 5

Como o numerador não zera para nenhum x\in\mathbb{R}, não existe valor real que torne a fração igual a zero. Ainda precisamos notar a condição do denominador: x\neq 1. Isso só exclui o ponto x=1 (onde a expressão não está definida), mas não cria soluções.

Passo 6

Conclusão: não há nenhum número real que satisfaça \frac{x^2+1}{x-1}=0. O conjunto solução é o conjunto vazio.

Resposta

\varnothing

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