Se
e
são variáveis aleatórias independentes. Encontre
a partir da distribuição conjunta das variáveis aleatórias U e V as suas respectivas distribuições marginais.
a partir da distribuição conjunta das variáveis aleatórias U e V as suas respectivas distribuições marginais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas variáveis aleatórias independentes, $ X $ e $ Y $, que seguem a distribuição exponencial com parâmetro $ \beta $, ou seja, $ X \sim \operatorname{Exp}(\beta) $ e $ Y \sim \operatorname{Exp}(\beta) $. A pergunta é: a partir da distribuição conjunta das variáveis aleatórias $ U $ e $ V $, quais são as distribuições marginais de $ U $ e $ V $?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições conjuntas e marginais, além de como trabalhar com variáveis exponenciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição conjunta. Quando temos duas variáveis aleatórias, $ U $ e $ V $, a distribuição conjunta $ f_{U,V}(u,v) $ nos diz a probabilidade de $ U $ assumir o valor $ u $ e $ V $ assumir o valor $ v $ ao mesmo tempo.
Como $ X $ e $ Y $ são independentes e ambas seguem a distribuição exponencial com parâmetro $ \beta $, a distribuição conjunta de $ X $ e $ Y $ é o produto das distribuições marginais de cada uma. Ou seja:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as distribuições marginais. A distribuição marginal de uma variável, digamos $ U $, é obtida juntando todas as possíveis contribuições da outra variável, $ V $, para aquela variável. Matemáticamente, isso significa integrar a distribuição conjunta em relação à variável que não estamos interessados.
Então, para encontrar a distribuição marginal de $ U $, fazemos:
E de maneira similar para $ V $:
Passo 4
Como $ U $ e $ V $ vêm de $ X $ e $ Y $, e sabemos que $ X $ e $ Y $ são independentes, podemos assumir que $ U $ e $ V $ também são independentes (a menos que haja uma transformação que introduza dependência, mas o enunciado não especifica isso).
Portanto, a distribuição conjunta de $ U $ e $ V $ será:
E como $ U $ e $ V $ são baseadas em $ X $ e $ Y $ que são exponenciais com parâmetro $ \beta $, podemos inferir que $ f_U(u) $ e $ f_V(v) $ também serão distribuições exponenciais com o mesmo parâmetro.
Passo 5
Vamos confirmar isso matematicamente. Considerando que $ U $ e $ V $ têm a mesma distribuição que $ X $ e $ Y $, respectivamente, temos:
Agora, para encontrar a marginal de $ U $, integramos em relação a $ V $:
A integral de $ e^{-\beta v} $ de 0 a infinito é $ \frac{1}{\beta} $, assim:
O mesmo vale para $ V $:
Resposta
As distribuições marginais de $ U $ e $ V $ são exponenciais com parâmetro $ \beta $: