Se X sim U(0,1) e Y sim U(0,1) são variáveis aleatórias independentes. Então
Calcula E(X times Y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a expectativa do produto de duas variáveis aleatórias independentes $ X $ e $ Y $, ambas distribuídas uniformemente entre 0 e 1. Então, estamos falando de Probabilidade e Estatística, mais especificamente de variáveis aleatórias contínuas e expectativas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é expectativa e como lidar com variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a expectativa $ \mathbb{E} $. A expectativa de uma variável aleatória é como a média esperada dos seus valores. Para variáveis contínuas, ela é calculada integrando a função identidade multiplicada pela função densidade de probabilidade (pdf).

Passo 3

Como $ X $ e $ Y $ são independentes e ambas seguem uma distribuição uniforme $ U(0,1) $, a função densidade de probabilidade conjunta é simplesmente o produto das pdfs individuais. Ou seja:
X

Passo 4

Agora, queremos calcular $ \mathbb{E}(XY) $. Pela definição de expectativa para duas variáveis contínuas:
E(XY)

Passo 5

Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a $ x $:
x

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a $ y $:
y
E(XY) = integral0^1 y times 12 , dy = 12 integral0^1 y , dy

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
E(XY) = 12 times 12 = 14

Resposta

A expectativa $ \mathbb{E}(XY) $ é igual a $ \frac{1}{4} $.

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