Se
e
são variáveis aleatórias independentes. Então
Calcula
;
Calcula
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a expectativa do produto de duas variáveis aleatórias independentes $ X $ e $ Y $, ambas distribuídas uniformemente entre 0 e 1. Então, estamos falando de Probabilidade e Estatística, mais especificamente de variáveis aleatórias contínuas e expectativas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é expectativa e como lidar com variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a expectativa $ \mathbb{E} $. A expectativa de uma variável aleatória é como a média esperada dos seus valores. Para variáveis contínuas, ela é calculada integrando a função identidade multiplicada pela função densidade de probabilidade (pdf).
Passo 3
Como $ X $ e $ Y $ são independentes e ambas seguem uma distribuição uniforme $ U(0,1) $, a função densidade de probabilidade conjunta é simplesmente o produto das pdfs individuais. Ou seja:
Passo 4
Agora, queremos calcular $ \mathbb{E}(XY) $. Pela definição de expectativa para duas variáveis contínuas:
Passo 5
Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a $ y $:
Passo 7
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A expectativa $ \mathbb{E}(XY) $ é igual a $ \frac{1}{4} $.