Se
e
são variáveis aleatórias independentes. Encontre
a distribuição conjunta das variáveis aleatórias
e
, em que
e
.
a distribuição conjunta das variáveis aleatórias
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas variáveis aleatórias independentes $ X $ e $ Y $, ambas seguindo uma distribuição exponencial com parâmetro $ \beta $, ou seja, $ X \sim \operatorname{Exp}(\beta) $ e $ Y \sim \operatorname{Exp}(\beta) $. A tarefa é encontrar a distribuição conjunta das novas variáveis $ U = X + Y $ e $ V = \frac{X}{X + Y} $.
Para resolver isso, vamos usar o método de transformação de variáveis aleatórias, que envolve calcular a matriz jacobiana para mudar de $ (X, Y) $ para $ (U, V) $.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar $ X $ e $ Y $ em termos de $ U $ e $ V $. Sabemos que:
Vamos resolver essas equações para $ X $ e $ Y $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação. A matriz jacobiana $ J $ é dada por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a matriz jacobiana fica:
O determinante de $ J $ é:
Tomamos o valor absoluto do determinante:
Passo 4
Sabemos que $ X $ e $ Y $ são independentes e seguem distribuições exponenciais, então a função de densidade conjunta de $ X $ e $ Y $ é:
Substituindo $ x = u v $ e $ y = u (1 - v) $:
Simplificando o exponencial:
Então:
Passo 5
Finalmente, devemos considerar os intervalos das variáveis. Como $ U = X + Y $ e $ X, Y > 0 $, então $ U > 0 $. Além disso, $ V = \frac{X}{X + Y} $ está entre 0 e 1, ou seja, $ 0 < V < 1 $.
Resposta
A distribuição conjunta das variáveis aleatórias $ U = X + Y $ e $ V = \frac{X}{X + Y} $ é dada por: