Se X sim Exp(beta) e Y sim Exp(beta) são variáveis aleatórias independentes. Encontre
a distribuição conjunta das variáveis aleatórias U e V, em que U=X+Y e V=XX+Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas variáveis aleatórias independentes $ X $ e $ Y $, ambas seguindo uma distribuição exponencial com parâmetro $ \beta $, ou seja, $ X \sim \operatorname{Exp}(\beta) $ e $ Y \sim \operatorname{Exp}(\beta) $. A tarefa é encontrar a distribuição conjunta das novas variáveis $ U = X + Y $ e $ V = \frac{X}{X + Y} $.
Para resolver isso, vamos usar o método de transformação de variáveis aleatórias, que envolve calcular a matriz jacobiana para mudar de $ (X, Y) $ para $ (U, V) $.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar $ X $ e $ Y $ em termos de $ U $ e $ V $. Sabemos que:
X
Vamos resolver essas equações para $ X $ e $ Y $:
Y

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação. A matriz jacobiana $ J $ é dada por:
J
Calculando as derivadas parciais:
J = partial Xpartial U & partial Xpartial V partial Ypartial U & partial Ypartial V
partial Xpartial U = V, partial Xpartial V = U
Então, a matriz jacobiana fica:
partial Ypartial U = 1 - V, partial Ypartial V = -U
O determinante de $ J $ é:
J = V & U 1 - V & -U
Tomamos o valor absoluto do determinante:
J

Passo 4

Sabemos que $ X $ e $ Y $ são independentes e seguem distribuições exponenciais, então a função de densidade conjunta de $ X $ e $ Y $ é:
X
Substituindo $ x = u v $ e $ y = u (1 - v) $:
Y
Simplificando o exponencial:
X
Então:
Y

Passo 5

Finalmente, devemos considerar os intervalos das variáveis. Como $ U = X + Y $ e $ X, Y > 0 $, então $ U > 0 $. Além disso, $ V = \frac{X}{X + Y} $ está entre 0 e 1, ou seja, $ 0 < V < 1 $.

Resposta

A distribuição conjunta das variáveis aleatórias $ U = X + Y $ e $ V = \frac{X}{X + Y} $ é dada por:
U = X + Y

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