Se X \sim N(20 ; 25) e P(X>b)=0,40, quanto vale b?

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição normal com média e variância dadas por X\sim N(20;25) e que P(X>b)=0{,}40. O que nos pedem: encontrar o valor de b. Informações relevantes que já temos: \mu=20 (média) e \sigma^{2}=25 (variância), daí \sigma=\sqrt{25}=5.

Passo 2

Transformar a probabilidade dada numa forma mais conveniente. Como a distribuição é contínua, vale a identidade
P(X>b)=0{,}40 \quad\Longrightarrow\quad P(X\le b)=1-0{,}40=0{,}60.
Ou seja, b é o percentil de ordem 0{,}60 da distribuição de X.

Passo 3

Para trabalhar com uma tabela ou função que conhecemos bem (a normal padrão), padronizamos X. Definição de padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio-padrão. Essa transformação leva qualquer normal para a normal padrão Z\sim N(0,1). Aplicando a padronização à desigualdade X\le b obtemos
P(X\le b)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right).
Queremos, portanto, o número z tal que \Phi(z)=0{,}60, onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão, e então b=\mu+\sigma z.

Passo 4

Achar z tal que \Phi(z)=0{,}60. Usando tabela da normal padrão ou calculadora inversa, vemos que os valores na tabela próximos são
\Phi(0{,}25)=0{,}5987\quad\text{e}\quad \Phi(0{,}26)=0{,}6026.
Fazemos uma interpolação linear simples porque 0{,}60 fica entre esses valores. A conta é
z=0{,}25+\frac{0{,}60-0{,}5987}{0{,}6026-0{,}5987}\cdot0{,}01.
Calculemos passo a passo:
0{,}60-0{,}5987=0{,}0013,
0{,}6026-0{,}5987=0{,}0039,
\frac{0{,}0013}{0{,}0039}\approx0{,}3333,
0{,}3333\cdot0{,}01=0{,}003333,
z\approx0{,}25+0{,}003333=0{,}253333\approx0{,}2533.
(Se usar uma calculadora com função inversa, obtém-se z\approx0{,}253347, mesma ordem de grandeza.)

Passo 5

Voltar para a escala de X. Usando b=\mu+\sigma z com \mu=20, \sigma=5 e z\approx0{,}2533:
b=20+5\cdot0{,}2533=20+1{,}2665=21{,}2665.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais, b\approx21{,}27.

Passo 6

Verificação rápida: se b\approx21{,}27, então z=(b-\mu)/\sigma\approx(21{,}27-20)/5=1{,}27/5\approx0{,}254, e \Phi(0{,}254)\approx0{,}600, de modo que P(X>b)=1-\Phi(z)\approx0{,}40, isto é consistente com o enunciado — tudo bateu.

Resposta

b\approx21{,}27

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