Supõe-se que a vida média de um circuito eletrônico tenha uma distribuição normal com média de 50.000 horas e desvio-padrão de 8.000 horas. Qual a probabilidade de um circuito escolhido ao acaso durar mais de 55.000 horas?

Passo 1

O enunciado pergunta qual a probabilidade de um circuito escolhido ao acaso durar mais de 55\,000 horas, e dá as seguintes informações:
\text{vida média} = 50\,000\\ \text{horas}é
\text{desvio-padrão} = 8\,000\\ \text{horas}ã

Portanto, queremos encontrar \mathbb{P}(X>55\,000) onde X é a vida do circuito com os parâmetros acima.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando uma variável aleatória tem distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, denotamos isso por X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades como \mathbb{P}(X>a) usamos a padronização, que transforma X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1. A fórmula da padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui cada símbolo significa:

\mu = média da distribuição (valor central),
\sigma = desvio-padrão (medida de dispersão),
X = variável original (vida do circuito),
Z = valor padronizado (quantos desvios-padrão X está longe da média).

A vantagem é que tabelas e funções da normal acumulada estão disponíveis para Z, então calculamos a probabilidade pedida através de Z.

Passo 3

Aplicando a padronização ao caso pedido: queremos \mathbb{P}(X>55\,000). Calculamos
Z=\frac{55\,000-50\,000}{8\,000}.
Fazendo as contas passo a passo:

55\,000-50\,000 = 5\,000.
\frac{5\,000}{8\,000}=\frac{5}{8}=0{,}625.
Logo o valor padronizado é
Z=0{,}625.

Passo 4

Reescrevemos a probabilidade em termos de Z:
\mathbb{P}(X>55\,000)=\mathbb{P}\!\left(Z>0{,}625\right).
Seja \Phi(z) a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z). Então
\mathbb{P}(Z>0{,}625)=1-\Phi(0{,}625).

Passo 5

Como obter \Phi(0{,}625): normalmente usamos uma tabela da normal padrão que dá \Phi para valores com duas casas decimais, ou calculadora/softwares. Vou usar a tabela padrão e interpolar entre os valores mais próximos:

valor da tabela para z=0{,}62 é \Phi(0{,}62)=0{,}7324,

valor da tabela para z=0{,}63 é \Phi(0{,}63)=0{,}7357.
(Estes números são os valores típicos encontrados numa tabela da normal padrão.)

Passo 6

Interpolação linear para \Phi(0{,}625): 0{,}625 está exatamente no meio entre 0{,}62 e 0{,}63, então podemos tirar a média dos dois valores da tabela:
\Phi(0{,}625)\approx\frac{0{,}7324+0{,}7357}{2}=0{,}73405.
Para evitar excesso de casas, arredondamos razoavelmente:
\Phi(0{,}625)\approx0{,}73405\approx0{,}7341.

Passo 7

Voltando à probabilidade pedida:
\mathbb{P}(X>55\,000)=1-\Phi(0{,}625)\approx1-0{,}73405=0{,}26595.
Arredondando para três casas decimais (útil em prova):
\mathbb{P}(X>55\,000)\approx0{,}266.
Em porcentagem isso é aproximadamente 26{,}6\%.

Passo 8

Interpretação prática e dica de prova: a resposta significa que cerca de 26,6% dos circuitos durarão mais de 55\,000 horas. Em prova, os passos que você deve lembrar são: (1) padronizar com Z=(X-\mu)/\sigma, (2) transformar a probabilidade em termos de Z, (3) usar tabela/ calculadora para \Phi, (4) aplicar 1-\Phi quando for a cauda superior. Se a tabela só der duas casas decimais, interpole ou aproxime como fizemos.

Resposta

0{,}266 \approx 26{,}6\%

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