Supõe-se que a vida média de um circuito eletrônico tenha uma distribuição normal com média de 50.000 horas e desvio-padrão de 8.000 horas. Qual a probabilidade de um circuito escolhido ao acaso durar mais de 55.000 horas?
Passo 1
O enunciado pergunta qual a probabilidade de um circuito escolhido ao acaso durar mais de
horas, e dá as seguintes informações:
Portanto, queremos encontrar
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): quando uma variável aleatória tem distribuição normal com média
e desvio-padrão
, denotamos isso por
. Para calcular probabilidades como
usamos a padronização, que transforma
numa variável normal padrão
com média
e desvio
. A fórmula da padronização é:
Aqui cada símbolo significa:
= média da distribuição (valor central),
= desvio-padrão (medida de dispersão),
= variável original (vida do circuito),
= valor padronizado (quantos desvios-padrão
está longe da média).
A vantagem é que tabelas e funções da normal acumulada estão disponíveis para , então calculamos a probabilidade pedida através de
.
A vantagem é que tabelas e funções da normal acumulada estão disponíveis para
Passo 3
Aplicando a padronização ao caso pedido: queremos
. Calculamos
Fazendo as contas passo a passo:
.
Logo o valor padronizado é
Passo 4
Reescrevemos a probabilidade em termos de
:
Seja
a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é
. Então
Passo 5
Como obter
: normalmente usamos uma tabela da normal padrão que dá
para valores com duas casas decimais, ou calculadora/softwares. Vou usar a tabela padrão e interpolar entre os valores mais próximos:
valor da tabela para é
,
valor da tabela para é
.
(Estes números são os valores típicos encontrados numa tabela da normal padrão.)
valor da tabela para
valor da tabela para
(Estes números são os valores típicos encontrados numa tabela da normal padrão.)
Passo 6
Interpolação linear para
:
está exatamente no meio entre
e
, então podemos tirar a média dos dois valores da tabela:
Para evitar excesso de casas, arredondamos razoavelmente:
Passo 7
Voltando à probabilidade pedida:
Arredondando para três casas decimais (útil em prova):
Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação prática e dica de prova: a resposta significa que cerca de 26,6% dos circuitos durarão mais de
horas. Em prova, os passos que você deve lembrar são: (1) padronizar com
, (2) transformar a probabilidade em termos de
, (3) usar tabela/ calculadora para
, (4) aplicar
quando for a cauda superior. Se a tabela só der duas casas decimais, interpole ou aproxime como fizemos.