Um banco de sangue necessita sangue do tipo O negativo. Suponha que a probabilidade de uma pessoa ter este tipo de sangue seja 0,10 . Doadores permanentes chegam ao hemocentro para fazer sua doação rotineira. Calcule as probabilidades de que o primeiro doador com sangue do tipo O negativo seja:
a) o primeiro a chegar;
b) o sétimo.
a) o primeiro a chegar;
b) o sétimo.
Passo 1
O enunciado diz que a probabilidade de uma pessoa ter sangue do tipo O negativo é
. Doadores chegam um a um ao hemocentro (em sequência). Precisamos calcular duas coisas:
a) a probabilidade de que o primeiro doador com sangue O negativo seja o primeiro a chegar (ou seja, que o primeiro doador já seja O negativo);
b) a probabilidade de que o primeiro doador com sangue O negativo seja o sétimo a chegar (ou seja, os seis primeiros não têm O negativo e o sétimo tem).
a) a probabilidade de que o primeiro doador com sangue O negativo seja o primeiro a chegar (ou seja, que o primeiro doador já seja O negativo);
b) a probabilidade de que o primeiro doador com sangue O negativo seja o sétimo a chegar (ou seja, os seis primeiros não têm O negativo e o sétimo tem).
As informações relevantes que vamos usar são:
e assumimos que cada doador tem, de forma independente, a mesma probabilidade
de ser O negativo.
Passo 2
Vamos definir uma variável aleatória para organizar a ideia. Seja
o número do doador (na ordem de chegada) que é o primeiro a ter sangue O negativo. Então:
-
significa que os primeiros doadores não são O negativo e o -ésimo é O negativo.
Explicando a hipótese de independência de forma simples: “independência” aqui significa que saber o tipo de sangue de um doador não altera a probabilidade do próximo ser O negativo. É uma suposição padrão nesses problemas para podermos multiplicar probabilidades de eventos sucessivos.
Passo 3
Agora vamos deduzir a fórmula que usamos. Para ter
precisamos que:
- os
primeiros sejam falhas (ou seja, não O negativo), cada um com probabilidade ; - o
-ésimo seja sucesso (O negativo), com probabilidade .
Como assumimos independência, multiplicamos as probabilidades dos eventos sucessivos. Logo a probabilidade de o primeiro O negativo ocorrer exatamente no
-ésimo doador é
Aqui:
é a probabilidade de sucesso (O negativo) em cada tentativa;
é a posição do primeiro sucesso;
é a probabilidade de falha em uma tentativa. Essa distribuição é chamada distribuição geométrica (no modelo “número de tentativas até o primeiro sucesso”).
Como exemplo rápido para fixar: se quiséssemos o primeiro sucesso no terceiro doador (
), seria
porque precisamos de duas falhas seguidas e depois um sucesso.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao item (a). Aqui
(o primeiro doador):
Substituindo
,
Passo 5
Interpretação numérica do item (a): a probabilidade de o primeiro doador já ser O negativo é
, isto é,
. Faz sentido intuitivo: é simplesmente a probabilidade de um doador ser O negativo.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao item (b). Aqui
:
Substituindo
e
,
Passo 7
Vamos calcular
passo a passo (para você poder fazer na prova sem calculadora, mostrando multiplicações sucessivas):
Agora multiplicamos por
:
Arredondando para quatro casas decimais fica
, isto é, cerca de
.
Passo 8
Checagem rápida de plausibilidade: a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer bem cedo deve ser maior que a de ocorrer bem tarde. Aqui
e
, que é menor que
, faz sentido — quanto mais avançamos, menor tende a ser a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente naquele lugar (embora a soma de todas as
sobre
seja 1).
Resposta
a)
b)
b)