Um banco de sangue necessita sangue do tipo O negativo. Suponha que a probabilidade de uma pessoa ter este tipo de sangue seja 0,10 . Doadores permanentes chegam ao hemocentro para fazer sua doação rotineira. Calcule as probabilidades de que o primeiro doador com sangue do tipo O negativo seja:
a) o primeiro a chegar;
b) o sétimo.

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de uma pessoa ter sangue do tipo O negativo é p=0,10. Doadores chegam um a um ao hemocentro (em sequência). Precisamos calcular duas coisas:
a) a probabilidade de que o primeiro doador com sangue O negativo seja o primeiro a chegar (ou seja, que o primeiro doador já seja O negativo);
b) a probabilidade de que o primeiro doador com sangue O negativo seja o sétimo a chegar (ou seja, os seis primeiros não têm O negativo e o sétimo tem).
As informações relevantes que vamos usar são: p=0,10 e assumimos que cada doador tem, de forma independente, a mesma probabilidade p de ser O negativo.

Passo 2

Vamos definir uma variável aleatória para organizar a ideia. Seja X o número do doador (na ordem de chegada) que é o primeiro a ter sangue O negativo. Então:
  • X=k significa que os k-1 primeiros doadores não são O negativo e o k-ésimo é O negativo.
    Explicando a hipótese de independência de forma simples: “independência” aqui significa que saber o tipo de sangue de um doador não altera a probabilidade do próximo ser O negativo. É uma suposição padrão nesses problemas para podermos multiplicar probabilidades de eventos sucessivos.

Passo 3

Agora vamos deduzir a fórmula que usamos. Para ter X=k precisamos que:
  • os k-1 primeiros sejam falhas (ou seja, não O negativo), cada um com probabilidade 1-p;
  • o k-ésimo seja sucesso (O negativo), com probabilidade p.
Como assumimos independência, multiplicamos as probabilidades dos eventos sucessivos. Logo a probabilidade de o primeiro O negativo ocorrer exatamente no k-ésimo doador é
P(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p.
Aqui: p é a probabilidade de sucesso (O negativo) em cada tentativa; k é a posição do primeiro sucesso; 1-p é a probabilidade de falha em uma tentativa. Essa distribuição é chamada distribuição geométrica (no modelo “número de tentativas até o primeiro sucesso”).
Como exemplo rápido para fixar: se quiséssemos o primeiro sucesso no terceiro doador ( k=3), seria (1-p)^{2}p porque precisamos de duas falhas seguidas e depois um sucesso.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao item (a). Aqui k=1 (o primeiro doador):
P(X=1)=(1-p)^{1-1}p=(1-p)^{0}p = 1\cdot p = p.
Substituindo p=0,10,
P(X=1)=0,10.

Passo 5

Interpretação numérica do item (a): a probabilidade de o primeiro doador já ser O negativo é 0,10, isto é, 10\%. Faz sentido intuitivo: é simplesmente a probabilidade de um doador ser O negativo.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao item (b). Aqui k=7:
P(X=7)=(1-p)^{7-1}p=(1-p)^{6}p.
Substituindo p=0,10 e 1-p=0,90,
P(X=7)=(0,90)^{6}\cdot 0,10.

Passo 7

Vamos calcular (0,90)^{6} passo a passo (para você poder fazer na prova sem calculadora, mostrando multiplicações sucessivas):
(0,90)^{2}=0,81,
(0,90)^{3}=0,81\times0,90=0,729,
(0,90)^{4}=0,729\times0,90=0,6561,
(0,90)^{5}=0,6561\times0,90=0,59049,
(0,90)^{6}=0,59049\times0,90=0,531441.
Agora multiplicamos por 0,10:
P(X=7)=0,531441\times0,10=0,0531441.
Arredondando para quatro casas decimais fica 0,0531, isto é, cerca de 5,31\%.

Passo 8

Checagem rápida de plausibilidade: a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer bem cedo deve ser maior que a de ocorrer bem tarde. Aqui P(X=1)=0,10 e P(X=7)\approx0,0531, que é menor que 0,10, faz sentido — quanto mais avançamos, menor tende a ser a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente naquele lugar (embora a soma de todas as P(X=k) sobre k\ge1 seja 1).

Resposta

a) 0,10
b) (0,90)^{6}\cdot 0,10 = 0,0531441 \approx 0,0531

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