Calcule o comprimento da curva.
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva parametrizada pelas equações
e pede que se calcule o comprimento dessa curva no intervalo de parâmetro dado.
Informações relevantes fornecidas:
- A parametrização é
. - O parâmetro
varia de até . - A tarefa: encontrar o comprimento da curva correspondente a essa parametrização no intervalo
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada de forma bem direta).
Quando uma curva no plano é dada por uma parametrização com
e
e
são diferenciáveis, o comprimento
da curva é dado por
Quando uma curva no plano é dada por uma parametrização
O que isso significa, em palavras simples:
- Divide-se o intervalo
em muitos pedaços pequenos de comprimento no parâmetro . - Cada pequeno segmento da curva é aproximadamente um segmento de reta com comprimento
. - No limite, somando esses comprimentos e fazendo
, obtém-se a integral acima.
Na fórmula: -
é a taxa de variação de em relação a ; -
é a taxa de variação de em relação a ; -
e são os limites do parâmetro (aqui , ).
Passo 3
Calcular as derivadas
e
.
Para
temos
porque a derivada de
em relação a
é
.
Para
usamos a regra do poder: se
, então
.
Aplicando:
Aplicando:
Observe como os fatores
e
se cancelam, sobrando
(que é
).
Passo 4
Montar o integrando e simplificar.
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento:
Portanto o comprimento da curva é
Passo 5
Calcular a integral
.
Usamos a regra da potência para integrais:
.
Aplicando os limites de
a
: