x=t, \quad y=\frac{2}{3} t^{3 / 2}, \quad 0 \leq t \leq 4
Calcule o comprimento da curva.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva parametrizada pelas equações
x=t,\qquad y=\frac{2}{3}\,t^{3/2},\qquad 0\le t\le 4,
e pede que se calcule o comprimento dessa curva no intervalo de parâmetro dado.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização é \big(x(t),y(t)\big)=\big(t,\tfrac{2}{3}t^{3/2}\big).
  • O parâmetro t varia de 0 até 4.
  • A tarefa: encontrar o comprimento da curva correspondente a essa parametrização no intervalo t\in[0,4].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada de forma bem direta).
Quando uma curva no plano é dada por uma parametrização \big(x(t),y(t)\big) com t\in[a,b] e x e y são diferenciáveis, o comprimento L da curva é dado por
L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.
O que isso significa, em palavras simples:
  • Divide-se o intervalo [a,b] em muitos pedaços pequenos de comprimento no parâmetro \Delta t.
  • Cada pequeno segmento da curva é aproximadamente um segmento de reta com comprimento \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.
  • No limite, somando esses comprimentos e fazendo \Delta t\to0, obtém-se a integral acima.
    Na fórmula:
  • \frac{dx}{dt} é a taxa de variação de x em relação a t;
  • \frac{dy}{dt} é a taxa de variação de y em relação a t;
  • a e b são os limites do parâmetro (aqui a=0, b=4).

Passo 3

Calcular as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
Para x(t)=t temos
\frac{dx}{dt}=1,
porque a derivada de t em relação a t é 1.
Para y(t)=\dfrac{2}{3}t^{3/2} usamos a regra do poder: se t^{\alpha}, então \dfrac{d}{dt}t^{\alpha}=\alpha t^{\alpha-1}.
Aplicando:
\frac{dy}{dt}=\frac{2}{3}\cdot\frac{d}{dt}\big(t^{3/2}\big) =\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}t^{1/2}=t^{1/2}.
Observe como os fatores \tfrac{2}{3} e \tfrac{3}{2} se cancelam, sobrando \sqrt{t} (que é t^{1/2}).

Passo 4

Montar o integrando e simplificar.
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =\sqrt{1^2+\big(t^{1/2}\big)^2} =\sqrt{1+t}.
Portanto o comprimento da curva é
L=\int_{0}^{4}\sqrt{1+t}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{4}\sqrt{1+t}\,dt.
Usamos a regra da potência para integrais: \displaystyle\int (1+t)^{1/2}\,dt=\frac{(1+t)^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}(1+t)^{3/2}+C.
Aplicando os limites de 0 a 4:
L=\left.\frac{2}{3}(1+t)^{3/2}\right|_{0}^{4} =\frac{2}{3}\big((1+4)^{3/2}-(1+0)^{3/2}\big) =\frac{2}{3}\big(5^{3/2}-1\big).

Resposta

L=\frac{2}{3}\big(5^{3/2}-1\big)=\frac{2}{3}\big(5\sqrt{5}-1\big)\approx 6,7869

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