m d^2d t^2 x(t)=-k x(t) ou d^2d t^2 x(t)+omega0^2 x(t)=0,
sendo omega0=raizkm, com k>0 e m>0.
c) Se v0=0, qual é a amplitude máxima de oscilação?

Passo 1

Beleza, o enunciado é sobre o movimento harmônico simples descrito pela equação
d^2xdt^2 + omega0^2,x(t) = 0,, omega0 = raizkm,,;k>0,;m>0
O item © pergunta: se a velocidade inicial v(0)=v0 vale zero, qual é a amplitude máxima de oscilação?
Para resolver isso, a gente vai precisar de:
1) solução geral da equação diferencial homogênea;
2) aplicar as condições iniciais x(0)=x0 e v(0)=0;
3) identificar a amplitude no resultado.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria do movimento harmônico simples: a solução geral de
x''(t) + omega0^2,x(t) = 0
é
x(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t),,
onde A e B são constantes que a gente determina pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora vamos relacionar com as condições iniciais. Definimos
x(0)=x0,, v(0)=x'(0)=v0,
Substituindo em x(t):
- Em t=0,
x(0) = Acos(0) + Bsin(0) = Acdot1 + Bcdot0 = A ;Longrightarrow; A = x0
  • A derivada é x'(t) = -A,omega0sin(omega0 t) + B,omega0cos(omega0 t)
    Em t=0,
    v(0)=x'(0) = -A,omega0sin(0) + B,omega0cos(0) = B,omega0 = v0Como v0=0, isso dá B,omega0 = 0 ;Longrightarrow; B = 0

Passo 4

Com A=x0 e B=0, a solução fica
x(t) = x0cos(omega0 t),
Num movimento harmônico, a amplitude Xmax é o coeficiente que multiplica o cosseno (ou o seno), pois é o valor máximo que x(t) atinge em módulo.

Resposta

boxedXmax = |x0|

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