Se X é uma variável aleatória normal com média mu=5 e variância sigma^2=9, determine E(2 X+3) e Var(2 X+3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor esperado e a variância de uma variável aleatória que é normalmente distribuída com média e variância . Para resolver isso, vamos usar as propriedades da expectativa e da variância em transformações lineares de variáveis aleatórias. Precisamos lembrar que:
  • A expectativa de uma transformação linear é .
  • A variância de uma transformação linear é .

Passo 2

Vamos calcular o valor esperado E(aX + b) = aE(X) + b . Segundo a propriedade da expectativa para transformações lineares:
E(2X + 3) = 2 times 5 + 3 = 10 + 3 = 13
Aqui, e . Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância Var(aX + b) = a^2 Var(X) . A propriedade da variância para transformações lineares é:
Var(2X + 3) = 2^2 times 9 = 4 times 9 = 36
Aqui, e . Sabemos que . Então:

Resposta

E(2X + 3) = 13 e Var(2X + 3) = 36

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