Em uma fábrica, a probabilidade de um item ser defeituoso é de 0,02 . Se 20 itens são inspecionados, qual a probabilidade de que exatamente 2 sejam defeituosos?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma fábrica onde a chance de um item ser defeituoso é de 0,02 (ou 2%). Queremos saber qual a probabilidade de, ao inspecionar 20 itens, exatamente 2 deles sejam defeituosos. Vamos usar o modelo binomial para resolver isso, que é ótimo quando temos uma série de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” seria um item defeituoso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o número total de tentativas (neste caso, 20 itens).
  • é o número de sucessos que queremos (2 itens defeituosos).
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,02).
  • é a combinação, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(X = 2) = binom202 times (0,02)^2 times (1 - 0,02)^20 - 2

Passo 4

Primeiro, calculamos a combinação binom202 = 20!2!(20 - 2)! = 20 times 192 times 1 = 190 :
(0,02)^2 = 0,0004
Agora, calculamos cada parte da fórmula:
(1 - 0,02)^18 = (0,98)^18 approx 0,6676
P(X = 2) = 190 times 0,0004 times 0,6676 approx 190 times 0,00026704 approx 0,0508
Multiplicando tudo:

Resposta

A probabilidade de que exatamente 2 de 20 itens sejam defeituosos é aproximadamente 5,08%.

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