Mostre que T é um automorfismo de V e exiba \left(T^{-1}\right)_{C, B}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
Informações dadas:
V é um espaço vetorial de dimensão 3.
B e C são duas bases de V.
T\in L(V) e a matriz de T relativa às bases B (colunas) e C (linhas) é(T)_{B,C}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
O que o enunciado pede:
Mostrar que T é um automorfismo de V (ou seja, que T é inversível/bijetora).
Exibir a matriz \left(T^{-1}\right)_{C,B} (a matriz de T^{-1} com base de chegada B e base de partida C).
Passo 2
Entendendo os conceitos que vamos usar (explicação didática e útil para a prova).
Definição prática de automorfismo: uma transformação linear T:V\to V é um automorfismo se e somente se T tem inversa linear T^{-1}; equivalently, T é bijetora.
Relação com matrizes: se A é a matriz de T relativa às bases B e C, isto é A=(T)_{B,C}, então T é inversível se, e somente se, A é inversível como matriz. Nesse caso a matriz de T^{-1} relativa às bases trocadas é justamente A^{-1}:
(T^{-1})_{C,B} = A^{-1}.
Explicação intuitiva: A converte coordenadas numa base B nas coordenadas na base C. A inversa A^{-1} faz o caminho contrário, por isso a ordem das bases inverte (de C para B).
Critério prático de inversibilidade de matriz: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Para matrizes diagonais, o determinante é o produto das entradas da diagonal.