Seja V um espaço vetorial da dimensão 3 , e sejam B e C duas bases de V. Seja T \in L(V) tal que
(T)_{B, C}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}\right)
Mostre que T é um automorfismo de V e exiba \left(T^{-1}\right)_{C, B}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações dadas:
    • V é um espaço vetorial de dimensão 3.
    • B e C são duas bases de V.
    • T\in L(V) e a matriz de T relativa às bases B (colunas) e C (linhas) é (T)_{B,C}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Mostrar que T é um automorfismo de V (ou seja, que T é inversível/bijetora).
    2. Exibir a matriz \left(T^{-1}\right)_{C,B} (a matriz de T^{-1} com base de chegada B e base de partida C).

Passo 2

Entendendo os conceitos que vamos usar (explicação didática e útil para a prova).
  • Definição prática de automorfismo: uma transformação linear T:V\to V é um automorfismo se e somente se T tem inversa linear T^{-1}; equivalently, T é bijetora.
  • Relação com matrizes: se A é a matriz de T relativa às bases B e C, isto é A=(T)_{B,C}, então T é inversível se, e somente se, A é inversível como matriz. Nesse caso a matriz de T^{-1} relativa às bases trocadas é justamente A^{-1}:
    (T^{-1})_{C,B} = A^{-1}.
    Explicação intuitiva: A converte coordenadas numa base B nas coordenadas na base C. A inversa A^{-1} faz o caminho contrário, por isso a ordem das bases inverte (de C para B).
  • Critério prático de inversibilidade de matriz: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Para matrizes diagonais, o determinante é o produto das entradas da diagonal.

Passo 3

Aplicando o critério à matriz dada.
  • Denotemos
    A = (T)_{B,C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
  • Como A é diagonal, seu determinante é o produto das entradas da diagonal:
    \det(A) = 1 \cdot 5 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.
  • Como \det(A)=\tfrac{5}{2}\neq 0, a matriz A é inversível. Logo, pela equivalência acima, T é inversível, isto é, T é um automorfismo de V.

Passo 4

Construindo explicitamente a matriz inversa A^{-1}.
  • Para uma matriz diagonal não singular, a matriz inversa é a diagonal cujas entradas são os recíprocos das entradas originais. Assim
    A^{-1} = \begin{pmatrix} 1^{-1} & 0 & 0 \\\\ 0 & 5^{-1} & 0 \\\\ 0 & 0 & \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \tfrac{1}{5} & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
  • Verificação rápida (como em prova, mostre que é realmente a inversa): multiplicando as diagonais correspondentes obtém-se a identidade:
    A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5\cdot \tfrac{1}{5} & 0 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3,
    e analogamente A^{-1}A=I_3. Portanto A^{-1} é realmente a inversa.

Passo 5

Relacionando com a notação pedida e concluindo.
  • Como observado, A=(T)_{B,C} e a matriz de T^{-1} trocando as bases é o inverso de A. Assim
    (T^{-1})_{C,B} = A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \tfrac{1}{5} & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
  • Conclusão lógica: T é automorfismo (porque A invertível) e a matriz pedida é a acima.

Resposta

T é um automorfismo de V.\n
\left(T^{-1}\right)_{C,B}=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{5} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}]

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