(1-x) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=x^2-1 y1=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1 - x),y'' ;-; 2x,y' ;+; 2y ;=; x^2 - 1
e informa que uma solução da homogênea é ,y1(x)=x.
O conteúdo é equação linear de segunda ordem com coeficientes não constantes. Vamos usar redução de ordem para encontrar a segunda solução da homogênea e, assim, a solução geral complementar.

Passo 2

Primeiro escrevemos a forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = r(x)
Dividindo tudo por (1-x), obtemos
y'' ;-;2x1-x,y' ;+;21-x,y ;=; x^2-11-x
Note que
x^2-11-x = -,(x+1),
ou seja
y'' + p(x),y' + q(x),y = r(x), p(x) = -2x1-x

Passo 3

Para a homogênea y''+p,y'+q,y=0 e usando y1=x, a segunda solução y2 vem da fórmula de redução de ordem
y2(x) = y1(x),integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos
integral p(x),dx = integral -2x1-x,dx
Escrevendo tfrac2x1-x=-2 + tfrac21-x, temos
integral p(x),dx = integrall(-2+21-xr),dx = -2x -2ln|1-x|
Logo
e^-integral p(x),dx = e^,2x+2ln|1-x| = e^2x(1-x)^2

Passo 5

O integrando fica
e^-integral py1^2 = e^2x(1-x)^2x^2 = e^2xl(1x^2-2x+1r)
Note que
1x^2-2x+1 = -ddx!l(1xr)+1,
pois tfracddx(1/x)=-1/x^2. Assim
integral e^2xl(tfrac1x^2-tfrac2x+1r),dx = -integral ddx!l(e^2xxr),dx + integral e^2x,dx = -e^2xx + e^2x2
Multiplicando por y1=x, segue
y2(x) = xl(-e^2xx + e^2x2r) = -e^2x + x,e^2x2 = e^2xl(x2-1r)

Passo 6

Portanto a base de soluções da homogênea é
y1(x)=x, y2(x)=e^2xl(x2-1r),
e a solução geral complementar é
yh(x) = C1,x ;+; C2,e^2xl(tfracx2-1r)

Resposta

A segunda solução da homogênea é
y2(x) = e^2xl(tfracx2 - 1r)
e a solução geral complementar
yh(x) = C1,x + C2,e^2xl(tfracx2-1r)

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