(1-2 x-x^2) y^prime prime+2(1+x) y^prime-2 y=x^3+sen(x) y1=x+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes variáveis
(1-2x - x^2),y'' + 2(1+x),y' - 2,y = x^3 + sen(x)
e informa uma solução do homogêneo ;y1 = x+1.
Conteúdo: redução de ordem para encontrar a segunda solução y2 do homogêneo e depois método de parâmetros variáveis para obter uma solução particular.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por 1-2x - x^2:
y'' + P(x),y' + Q(x),y = R(x),
onde
P(x) = 2(1+x)1-2x - x^2, Q(x) = -21-2x - x^2, R(x) = x^3 + sin(x)1-2x - x^2

Passo 3

Usamos redução de ordem para achar y2. A fórmula é
y2 = y1(x),integral e^-integral P(x),dx[y1(x)]^2,dx
Primeiro
integral P(x),dx = integral 2(1+x)1-2x - x^2,dx = -ln|,1-2x - x^2| + C,
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e^-integral P,dx = 1 - 2x - x^2
Assim o integrando torna-se
1-2x - x^2(x+1)^2 = -1 + 2(x+1)^2,
e
integrall[-1 + tfrac2(x+1)^2r]dx = -x - 2x+1
Portanto, desprezando constantes multiplicativas,
y2 = (x+1)l(-x - 2x+1r) = -(x^2 + x + 2) ;Longrightarrow; y2 = x^2 + x + 2

Passo 4

Agora fazemos parâmetros variáveis: a solução geral homogênea é
yh = C1 y1 + C2 y2
Para a parte particular usamos
yp = -y1,integral y2,R(x)W(x),dx ;+; y2,integral y1,R(x)W(x),dx,
onde o wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = (x+1)(2x+1) - 1cdot(x^2+x+2) = x^2 + 2x -1 = -l(1-2x - x^2r)
Note que
RW = x^3 + sin(x)(1-2x - x^2),(x^2+2x-1) = -x^3 + sin(x)(1-2x - x^2)^2
Logo definimos
u1' = -,y2,RW = (x^2+x+2),(x^3+sin x)(1-2x - x^2)^2, u2' = y1,RW = -,(x+1),(x^3+sin x)(1-2x - x^2)^2
E a solução particular é
yp = (x+1)integral u1'(x),dx ;+;(x^2+x+2)integral u2'(x),dx

Passo 5

Reunindo tudo, a solução geral é
y(x) = C1,(x+1) + C2,(x^2 + x + 2) ;+; (x+1)integral (x^2+x+2)(x^3+sin x)(1-2x - x^2)^2,dx - (x^2+x+2)integral (x+1)(x^3+sin x)(1-2x - x^2)^2,dx

Resposta

boxed y(x) = C1,(x+1) + C2,(x^2 + x + 2) + (x+1)integral (x^2+x+2),(x^3+sin x)(1-2x - x^2)^2,dx - (x^2+x+2)integral (x+1),(x^3+sin x)(1-2x - x^2)^2,dx

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