Tp 5 Uma xícara de alumínio com volume
está cheia de glicerina a
. Determine o volume de glicerina derramado quando a temperatura da glicerina e da xícara aumenta para
. O coeficiente
de dilatação linear do alumínio é
e o coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina é
.
de dilatação linear do alumínio é
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Volume inicial da xícara (e da glicerina):
. - Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Coeficiente de dilatação linear do alumínio:
. - Coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina:
.
O que o problema pede:
- Determinar o volume de glicerina que é derramado (isto é, o volume que sobra após ambas, xícara e glicerina, serem aquecidas até
).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples).
- Dilatação volumétrica: quando a temperatura de um fluido ou sólido aumenta em
, o volume aproximadamente se altera segundo a fórmula
onde:
-
é o volume inicial à temperatura inicial, -
é o volume à nova temperatura, -
é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidade ), -
é a variação de temperatura (em ). -
Para sólidos isotrópicos (como a parede de uma xícara de metal) o coeficiente volumétrico é, em boa aproximação,
onde
é o coeficiente de dilatação linear. Isso vem da soma das dilatações nas três direções espaciais; não precisa decorar, basta saber que multiplicamos por 3.
Estratégia: calcular a variação de temperatura
, obter
a partir de
, calcular o novo volume da glicerina e o novo volume da xícara e subtrair para achar o volume derramado (se positivo).
Passo 3
Calcular a variação de temperatura e o coeficiente volumétrico do alumínio.
- Variação de temperatura:
- Coeficiente volumétrico do alumínio:
Passo 4
Calcular o volume final da glicerina após aquecimento.
Usamos
Substituindo os valores:
Logo
Para acompanhar as contas de cabeça na prova: a parte extra da glicerina é
.
Passo 5
Calcular o volume final da xícara de alumínio após aquecimento.
Usamos a mesma fórmula com
:
Calcule o fator:
Logo
Interpretação rápida: a xícara só aumenta cerca de
.
Passo 6
Calcular o volume derramado: é a diferença entre o volume final da glicerina e o volume interno final da xícara (se positivo).
Arredondando de forma prática (três algarismos significativos), temos
. Em mL isso é numericamente igual:
. É um volume bem pequeno — faz sentido fisicamente porque a glicerina dilata mais que o alumínio, mas a diferença das dilatações em apenas
é pequena.