Tp 5 Uma xícara de alumínio com volume 97,25 \mathrm{~cm}^{3} está cheia de glicerina a 21,5^{\circ} \mathrm{C}. Determine o volume de glicerina derramado quando a temperatura da glicerina e da xícara aumenta para 27,6^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente
de dilatação linear do alumínio é 23 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina é 5,1 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Volume inicial da xícara (e da glicerina): V_0 = 97,25\\ \mathrm{cm}^3.
  • Temperatura inicial: T_i = 21,5\,^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_f = 27,6\,^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha_{\text{Al}} = 23\times 10^{-6}\,/^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina: \beta_{\text{g}} = 5,1\times 10^{-4}\,/^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
  • Determinar o volume de glicerina que é derramado (isto é, o volume que sobra após ambas, xícara e glicerina, serem aquecidas até T_f).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples).
  • Dilatação volumétrica: quando a temperatura de um fluido ou sólido aumenta em \Delta T, o volume aproximadamente se altera segundo a fórmula
V = V_0\bigl(1 + \beta\,\Delta T\bigr),
onde:
  • V_0 é o volume inicial à temperatura inicial,
  • V é o volume à nova temperatura,
  • \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidade /^\circ\mathrm{C}),
  • \Delta T = T_f - T_i é a variação de temperatura (em ^{\circ}\mathrm{C}).
  • Para sólidos isotrópicos (como a parede de uma xícara de metal) o coeficiente volumétrico é, em boa aproximação,
\beta_{\text{sol}} \approx 3\alpha,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear. Isso vem da soma das dilatações nas três direções espaciais; não precisa decorar, basta saber que multiplicamos por 3.
Estratégia: calcular a variação de temperatura \Delta T, obter \beta_{\text{Al}} a partir de \alpha_{\text{Al}}, calcular o novo volume da glicerina e o novo volume da xícara e subtrair para achar o volume derramado (se positivo).

Passo 3

Calcular a variação de temperatura e o coeficiente volumétrico do alumínio.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_f - T_i = 27,6 - 21,5 = 6,1\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente volumétrico do alumínio:
\beta_{\text{Al}} \approx 3\alpha_{\text{Al}} = 3\cdot\bigl(23\times 10^{-6}\bigr) = 69\times 10^{-6} = 6,9\times 10^{-5}\,/^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o volume final da glicerina após aquecimento.
Usamos
V_{\text{g,final}} = V_0\bigl(1 + \beta_{\text{g}}\,\Delta T\bigr).
Substituindo os valores:
1 + \beta_{\text{g}}\,\Delta T = 1 + \bigl(5,1\times 10^{-4}\bigr)\cdot 6,1 = 1 + 0,003111 = 1,003111.
Logo
V_{\text{g,final}} = 97,25\cdot 1,003111 = 97,55254475\\ \mathrm{cm}^3.
Para acompanhar as contas de cabeça na prova: a parte extra da glicerina é 97,25\times 0,003111\approx 0,3025\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

Calcular o volume final da xícara de alumínio após aquecimento.
Usamos a mesma fórmula com \beta_{\text{Al}}:
V_{\text{Al,final}} = V_0\bigl(1 + \beta_{\text{Al}}\,\Delta T\bigr).
Calcule o fator:
1 + \beta_{\text{Al}}\,\Delta T = 1 + \bigl(6,9\times 10^{-5}\bigr)\cdot 6,1 = 1 + 0,0004209 = 1,0004209.
Logo
V_{\text{Al,final}} = 97,25\cdot 1,0004209 = 97,290932525\\ \mathrm{cm}^3.
Interpretação rápida: a xícara só aumenta cerca de 0,04093\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Calcular o volume derramado: é a diferença entre o volume final da glicerina e o volume interno final da xícara (se positivo).
\Delta V = V_{\text{g,final}} - V_{\text{Al,final}} = 97,55254475 - 97,290932525 = 0,261612225\\ \mathrm{cm}^3.
Arredondando de forma prática (três algarismos significativos), temos \Delta V \approx 0,262\\ \mathrm{cm}^3. Em mL isso é numericamente igual: 0,262\\ \mathrm{mL}. É um volume bem pequeno — faz sentido fisicamente porque a glicerina dilata mais que o alumínio, mas a diferença das dilatações em apenas 6,1\,^\circ\mathrm{C} é pequena.

Resposta

0,262\\ \mathrm{cm}^3

Exercícios relacionados