Tp 4 Uma bola de chumbo tem volume igual a 49,12 \mathrm{~cm}^{3} a 57,65^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do chumbo é 29 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}, calcule o volume da bola a 27,38^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Volume da bola de chumbo à temperatura inicial: V_1 = 49,12\\ \mathrm{cm}^3 (a T_1 = 57,65^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura final desejada: T_2 = 27,38^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do chumbo: \alpha = 29\times10^{-6}\\ { }^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o volume da bola à temperatura T_2 = 27,38^\circ\mathrm{C}. Ou seja, encontrar V_2.

Passo 2

Conceito básico e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A dilatação linear diz que um comprimento l que vale l_0 à temperatura T_0 passa a valer, à temperatura T,
l = l_0\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr),
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear e \Delta T = T-T_0 é a variação de temperatura.
  • Para um corpo aproximadamente isotrópico (mesmo comportamento em todas as direções), o volume V que é produto de três comprimentos muda como o produto desses três fatores. Assim, partindo de V_0 à temperatura T_0, o volume à temperatura T é exatamente
V = V_0\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr)^3.
Aqui \alpha é o coeficiente linear e \Delta T = T-T_0 é a variação de temperatura.
  • Para coeficientes pequenos (caso usual: \alpha da ordem de 10^{-6}), expande-se o cubo e desprezam-se termos de ordem (\alpha\Delta T)^2 e superiores. Isso dá a fórmula aproximada de dilatação volumétrica linearizada:
V \approx V_0\bigl(1+\beta\Delta T\bigr),
onde \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica e vale, na aproximação de primeira ordem,
\beta \approx 3\alpha.
Explicando: \beta representa a fração de variação do volume por grau Celsius; como o volume cresce em três direções, a primeira ordem é três vezes a dilatação linear.

Passo 3

Escolha do método e por quê:
  • Existem duas maneiras equivalentes para calcular V_2:
    1. Usar a expressão “exata” derivada do produto das três dilatações: V_2 = V_1(1+\alpha\Delta T)^3.
    2. Usar a aproximação linear de primeira ordem: V_2 \approx V_1[1+\beta\Delta T] com \beta=3\alpha.
  • Vou apresentar os dois (porque é didático) e usar a aproximação linear como resultado prático — que é suficiente aqui porque \alpha é muito pequeno — mas mostrando que os dois dão praticamente o mesmo número.

Passo 4

Calcular a variação de temperatura e o coeficiente volumétrico aproximado:
  • Variação de temperatura
\Delta T = T_2 - T_1 = 27,38^\circ\mathrm{C} - 57,65^\circ\mathrm{C} = -30,27^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente volumétrico aproximado
\beta \approx 3\alpha = 3\cdot\bigl(29\times10^{-6}\bigr) = 87\times10^{-6}\\ { }^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 5

Usar a aproximação linear (primeira ordem) para calcular V_2 passo a passo:
  • Primeiro calcule \beta\Delta T:
\beta\Delta T = 87\times10^{-6}\cdot(-30,27) = -0,00263349.
  • Agora aplicar a fórmula aproximada
V_2 \approx V_1\bigl(1+\beta\Delta T\bigr) = 49,12\cdot\bigl(1-0,00263349\bigr).
  • Calcule o fator:
1-0,00263349 = 0,99736651.
  • Multiplicando:
V_2 \approx 49,12\cdot 0,99736651 = 48,99065\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Verificação usando a expressão completa V_2 = V_1(1+\alpha\Delta T)^3 (para conferir o quanto a aproximação erra):
  • Calcule 1+\alpha\Delta T:
1+\alpha\Delta T = 1 + 29\times10^{-6}\cdot(-30,27) = 1 - 0,00087783 = 0,99912217.
  • Elevar ao cubo:
(0,99912217)^3 \approx 0,99736882.
  • Multiplicar por V_1:
V_2 = 49,12\cdot 0,99736882 = 48,99073\\ \mathrm{cm}^3.
  • Observação: os dois resultados são praticamente idênticos (diferença \sim 8\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^3), então a aproximação linear foi totalmente adequada.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final:
  • O volume diminuiu porque a temperatura caiu ( \Delta T<0).
  • Mantendo a mesma precisão dos dados iniciais (duas casas decimais em V_1), arredondamos V_2 para duas casas decimais:
V_2 \approx 48,99\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

48,99\\ \mathrm{cm}^3

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