Tp 4 Uma bola de chumbo tem volume igual a
a
. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do chumbo é
, calcule o volume da bola a
.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Volume da bola de chumbo à temperatura inicial:
(a ). - Temperatura final desejada:
. - Coeficiente de dilatação linear do chumbo:
.
O que o enunciado pede:
- Calcular o volume da bola à temperatura
. Ou seja, encontrar .
Passo 2
Conceito básico e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A dilatação linear diz que um comprimento
que vale à temperatura passa a valer, à temperatura ,
onde
é o coeficiente de dilatação linear e
é a variação de temperatura.
- Para um corpo aproximadamente isotrópico (mesmo comportamento em todas as direções), o volume
que é produto de três comprimentos muda como o produto desses três fatores. Assim, partindo de à temperatura , o volume à temperatura é exatamente
Aqui
é o coeficiente linear e
é a variação de temperatura.
- Para coeficientes pequenos (caso usual:
da ordem de ), expande-se o cubo e desprezam-se termos de ordem e superiores. Isso dá a fórmula aproximada de dilatação volumétrica linearizada:
onde
é o coeficiente de dilatação volumétrica e vale, na aproximação de primeira ordem,
Explicando:
representa a fração de variação do volume por grau Celsius; como o volume cresce em três direções, a primeira ordem é três vezes a dilatação linear.
Passo 3
Escolha do método e por quê:
-
Existem duas maneiras equivalentes para calcular
: - Usar a expressão “exata” derivada do produto das três dilatações:
. - Usar a aproximação linear de primeira ordem:
com .
- Usar a expressão “exata” derivada do produto das três dilatações:
-
Vou apresentar os dois (porque é didático) e usar a aproximação linear como resultado prático — que é suficiente aqui porque
é muito pequeno — mas mostrando que os dois dão praticamente o mesmo número.
Passo 4
Calcular a variação de temperatura e o coeficiente volumétrico aproximado:
- Variação de temperatura
- Coeficiente volumétrico aproximado
Passo 5
Usar a aproximação linear (primeira ordem) para calcular
passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Agora aplicar a fórmula aproximada
- Calcule o fator:
- Multiplicando:
Passo 6
Verificação usando a expressão completa
(para conferir o quanto a aproximação erra):
- Calcule
:
- Elevar ao cubo:
- Multiplicar por
:
- Observação: os dois resultados são praticamente idênticos (diferença
), então a aproximação linear foi totalmente adequada.
Passo 7
Arredondamento e interpretação final:
- O volume diminuiu porque a temperatura caiu (
). - Mantendo a mesma precisão dos dados iniciais (duas casas decimais em
), arredondamos para duas casas decimais: