Um feixe de elétrons monoenergéticos incide sobre uma fenda simples de largura 0,50 \mathrm{~nm}, formando um padrão de difração sobre um anteparo a 40 cm de distância dela. Obser-va-se que a distância entre os primeiros mínimos sucessivos do padrão de difração é de 4,2 \mathrm{~cm}. Determine a energia do feixe incidente de elétrons.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Largura da fenda: a = 0,50\\ \mathrm{nm}.
  • Distância da fenda ao anteparo: L = 40\\ \mathrm{cm}.
  • Distância entre os primeiros mínimos sucessivos do padrão de difração (ou seja, entre o mínimo de ordem -1 e o mínimo de ordem +1): d = 4,2\\ \mathrm{cm}.
O que se pede:
  • Determinar a energia do feixe incidente de elétrons (dar o resultado em unidades usuais, por exemplo em joules e em elétron-volts).

Passo 2

Entender a configuração física e a relação entre os dados: para difração por uma fenda simples, os mínimos do padrão (para ondas com comprimento de onda \lambda) satisfazem a condição
a\sin\theta = m\lambda,
onde m é um inteiro não nulo (para o primeiro mínimo em cada lado, m=\pm1). A posição y do mínimo de ordem m no anteparo, medido a partir do centro, está relacionada ao ângulo \theta por
\tan\theta = \frac{y}{L}.
Para ângulos pequenos (caso típico aqui), usamos a aproximação \sin\theta \approx \tan\theta \approx \dfrac{y}{L}. Como os primeiros mínimos com m=+1 e m=-1 estão simetricamente em relação ao centro, a distância dada entre eles d é
d = 2y_1,
onde y_1 é a posição do mínimo de primeira ordem (em relação ao eixo central). Então y_1 = d/2. Substituindo na condição de mínimo com m=1 obtemos a fórmula prática para \lambda:
\lambda \approx \frac{a\,y_1}{L}.

Passo 3

Converter todos os dados para o SI e calcular \lambda.
Converter:
a = 0,50\\ \mathrm{nm} = 0,50\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5,0\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
L = 40\\ \mathrm{cm} = 0,40\\ \mathrm{m},
d = 4,2\\ \mathrm{cm} = 0,042\\ \mathrm{m},
logo
y_1 = \frac{d}{2} = \frac{0,042}{2} = 0,021\\ \mathrm{m}.
Agora aplicar \lambda \approx \dfrac{a\,y_1}{L}:
\lambda \approx \frac{(5,0\times10^{-10})(0,021)}{0,40}.
Calcular passo a passo:
\frac{0,021}{0,40} = 0,0525,
\lambda \approx (5,0\times10^{-10})\times 0,0525 = 2,625\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Relacionar o comprimento de onda \lambda dos elétrons com a energia cinética. Para partículas como elétrons, a hipótese de de Broglie diz que o comprimento de onda está ligado ao momento linear p por
p = \frac{h}{\lambda},
onde h é a constante de Planck ( h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}). A energia cinética não-relativística é
E = \frac{p^{2}}{2m_e},
onde m_e é a massa do elétron ( m_e = 9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}). Vamos usar essas fórmulas (mais adiante checamos que a aproximação não-relativística é aceitável).

Passo 5

Calcular o momento p e a energia E.
Primeiro o momento:
p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6,626\times10^{-34}}{2,625\times10^{-11}}.
Fazendo a divisão:
p \approx 2,524\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora a energia cinética usando E=\dfrac{p^{2}}{2m_e}:
p^{2} \approx (2,524\times10^{-23})^{2} = 6,37\times10^{-46}\\ (\mathrm{kg^2\cdot m^2/s^2}),
2m_e = 2\times9,11\times10^{-31} = 1,822\times10^{-30}\\ \mathrm{kg}.
Portanto
E \approx \frac{6,37\times10^{-46}}{1,822\times10^{-30}} \approx 3,50\times10^{-16}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter a energia para elétron-volts (1 eV = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E \approx \frac{3,50\times10^{-16}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 2,18\times10^{3}\\ \mathrm{eV} = 2,18\\ \mathrm{keV}.

Passo 7

Verificação rápida da validade da aproximação não-relativística: calculando a velocidade estimada v=\sqrt{2E/m_e},
v \approx \sqrt{\frac{2\times3,50\times10^{-16}}{9,11\times10^{-31}}}\approx 8,8\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\approx 0,29\,c,
ou seja, cerca de 29\% da velocidade da luz; a correção relativística é moderada mas pequena o suficiente para aceitar a estimativa não-relativística com boa precisão para um problema de prova. Se fosse necessário maior precisão, faria-se a correção relativística usando a relação E=(\gamma-1)m_ec^{2}.

Resposta

E \approx 3,50\times10^{-16}\\ \mathrm{J}
E \approx 2,18\\ \mathrm{keV}

Exercícios relacionados