Um feixe de elétrons monoenergéticos incide sobre uma fenda simples de largura
, formando um padrão de difração sobre um anteparo a 40 cm de distância dela. Obser-va-se que a distância entre os primeiros mínimos sucessivos do padrão de difração é de
. Determine a energia do feixe incidente de elétrons.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Largura da fenda:
. - Distância da fenda ao anteparo:
. - Distância entre os primeiros mínimos sucessivos do padrão de difração (ou seja, entre o mínimo de ordem
e o mínimo de ordem ): .
O que se pede:
- Determinar a energia do feixe incidente de elétrons (dar o resultado em unidades usuais, por exemplo em joules e em elétron-volts).
Passo 2
Entender a configuração física e a relação entre os dados: para difração por uma fenda simples, os mínimos do padrão (para ondas com comprimento de onda
) satisfazem a condição
onde
é um inteiro não nulo (para o primeiro mínimo em cada lado,
). A posição
do mínimo de ordem
no anteparo, medido a partir do centro, está relacionada ao ângulo
por
Para ângulos pequenos (caso típico aqui), usamos a aproximação
. Como os primeiros mínimos com
e
estão simetricamente em relação ao centro, a distância dada entre eles
é
onde
é a posição do mínimo de primeira ordem (em relação ao eixo central). Então
. Substituindo na condição de mínimo com
obtemos a fórmula prática para
:
Passo 3
Converter todos os dados para o SI e calcular
.
Converter:
logo
Agora aplicar
:
Calcular passo a passo:
Passo 4
Relacionar o comprimento de onda
dos elétrons com a energia cinética. Para partículas como elétrons, a hipótese de de Broglie diz que o comprimento de onda está ligado ao momento linear
por
onde
é a constante de Planck (
). A energia cinética não-relativística é
onde
é a massa do elétron (
). Vamos usar essas fórmulas (mais adiante checamos que a aproximação não-relativística é aceitável).
Passo 5
Calcular o momento
e a energia
.
Primeiro o momento:
Fazendo a divisão:
Agora a energia cinética usando
:
Portanto
Passo 6
Converter a energia para elétron-volts (1 eV
):
Passo 7
Verificação rápida da validade da aproximação não-relativística: calculando a velocidade estimada
,
ou seja, cerca de
da velocidade da luz; a correção relativística é moderada mas pequena o suficiente para aceitar a estimativa não-relativística com boa precisão para um problema de prova. Se fosse necessário maior precisão, faria-se a correção relativística usando a relação
.