Uma xícara de café é colocada em uma sala onde a temperatura ambiente é mantida constante a
. Inicialmente, a temperatura do café é de
. Após 10 minutos, a temperatura do café diminuiu para
. Determine:
(a) O tempo necessário para que a temperatura do café atinja
.
(a) O tempo necessário para que a temperatura do café atinja
Passo 1
Beleza, então temos uma xícara de café que começa com
em uma sala que está sempre a
. Depois de 10 minutos, a temperatura do café cai para
. A gente vai usar a Lei do Resfriamento de Newton para descobrir quanto tempo vai levar para a temperatura do café chegar a
. Essa lei basicamente relaciona a taxa de resfriamento de um objeto com a diferença de temperatura entre ele e o ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton:
Onde:
-
é a temperatura no tempo . -
é a temperatura ambiente. -
é a temperatura inicial do objeto. -
é a constante de resfriamento. -
é a base do logaritmo natural. -
é o tempo.
Passo 3
Vamos identificar os valores que já temos:
-
-
-
-
minutos
Vamos usar esses valores para encontrar a constante
. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por 70:
Passo 5
Agora, para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o valor:
Passo 6
Agora que temos
, vamos usar a fórmula da Lei do Resfriamento para encontrar o tempo
quando
:
Passo 7
Simplificando:
Dividindo por 70:
Passo 8
Aplicando o logaritmo natural novamente:
Calculando o valor:
Resposta
O tempo necessário para que a temperatura do café atinja
é aproximadamente 45,7 minutos.