Uma xícara de café é colocada em uma sala onde a temperatura ambiente é mantida constante a 25^circ C. Inicialmente, a temperatura do café é de 95^circ C. Após 10 minutos, a temperatura do café diminuiu para 75^circ C. Determine:
(a) O tempo necessário para que a temperatura do café atinja 40^circ C.

Passo 1

Beleza, então temos uma xícara de café que começa com 95^circ C em uma sala que está sempre a 25^circ C. Depois de 10 minutos, a temperatura do café cai para 75^circ C. A gente vai usar a Lei do Resfriamento de Newton para descobrir quanto tempo vai levar para a temperatura do café chegar a 40^circ C. Essa lei basicamente relaciona a taxa de resfriamento de um objeto com a diferença de temperatura entre ele e o ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton:
T(t) = Tamb + (T0 - Tamb) cdot e^-kt
Onde:
  • T(t) é a temperatura no tempo t.
  • Tamb é a temperatura ambiente.
  • T0 é a temperatura inicial do objeto.
  • k é a constante de resfriamento.
  • e é a base do logaritmo natural.
  • t é o tempo.

Passo 3

Vamos identificar os valores que já temos:
  • Tamb = 25^circ C
  • T0 = 95^circ C
  • T(10) = 75^circ C
  • t = 10 minutos
Vamos usar esses valores para encontrar a constante k. Substituindo na fórmula:
75 = 25 + (95 - 25) cdot e^-k cdot 10

Passo 4

Simplificando a equação:
75 - 25 = 70 cdot e^-10k
50 = 70 cdot e^-10k
Dividindo ambos os lados por 70:
5070 = e^-10k
57 = e^-10k

Passo 5

Agora, para resolver para k, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(57) = -10k
k = -110 ln(57)
Calculando o valor:
k approx -110 ln(0,7143) approx -110 (-0,3365) approx 0,03365

Passo 6

Agora que temos k, vamos usar a fórmula da Lei do Resfriamento para encontrar o tempo t quando T(t) = 40^circ C:
40 = 25 + (95 - 25) cdot e^-0,03365t

Passo 7

Simplificando:
40 - 25 = 70 cdot e^-0,03365t
15 = 70 cdot e^-0,03365t
Dividindo por 70:
1570 = e^-0,03365t
314 = e^-0,03365t

Passo 8

Aplicando o logaritmo natural novamente:
ln(314) = -0,03365t
t = -ln(314)0,03365
Calculando o valor:
t approx -ln(0,2143)0,03365 approx --1,5410,03365 approx 45,73 minutos

Resposta

O tempo necessário para que a temperatura do café atinja 40^circ C é aproximadamente 45,7 minutos.

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