Uma xícara de café resfria de 100^{\circ} \mathrm{C} até a temperatura ambiente, 20^{\circ} \mathrm{C}. A massa de café na xícara é 250 g e sua capacidade térmica específica pode ser assumida equivalente a da água, c_{s}=4190 \mathrm{~J} . \mathrm{kg}^{-1} . \mathrm{K}^{-1}.
A) Calcule a variação de entropia para i. café, ii. Vizinhança, iii. café mais a vizinhança (o “universo”).
B) Explique a espontaneidade do esfriamento do café nestas condições, segundo as variações de entropia calculadas.

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:
  • Temperatura inicial do café: T_{i}=100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final (ambiente): T_{f}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Massa do café: m=250\\ \mathrm{g}=\;0,250\\ \mathrm{kg}.
  • Capacidade térmica específica (assumida igual à da água): c_{s}=4190\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
Converter temperaturas para Kelvin (usadas nos cálculos):
T_{i}=100^\circ\mathrm{C}=373,15\\ \mathrm{K},\qquad T_{f}=20^\circ\mathrm{C}=293,15\\ \mathrm{K}.
O que o enunciado pede:
A) Calcular as variações de entropia
i. do café ( \Delta S_{\text{café}}é),
ii. da vizinhança/ambiente ( \Delta S_{\text{viz}}),
iii. do conjunto café + vizinhança (o “universo”) ( \Delta S_{\text{univ}}).
B) Explicar, com base nessas variações de entropia, por que o esfriamento do café é espontâneo nessas condições.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (aula rápida e prática):
  • Entropia é uma grandeza que mede, entre outras coisas, como a energia térmica se distribui em função da temperatura. Para um corpo que troca calor de forma tal que sua temperatura varia e cuja capacidade térmica c é aproximadamente constante, a variação de entropia ao mudar de T_{i} para T_{f} é dada por
\Delta S=\int_{T_{i}}^{T_{f}}\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
  • Se a troca de calor for apenas por aquecimento/resfriamento do corpo e a capacidade térmica é constante, então dQ_{\text{rev}}=m c\, dT e:
\Delta S = m c \int_{T_{i}}^{T_{f}}\frac{dT}{T} = m c\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right).
Explicando cada termo:
  • m é a massa do corpo (em \mathrm{kg}).
  • c é a capacidade térmica específica (em \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}).
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • A derivação acima assume que internamente o corpo pode ser aproximado como em equilíbrio térmico durante o processo (modelo de corpo homogêneo com temperatura bem definida).
Observação sobre a vizinhança:
  • A vizinhança (ambiente) é grande e mantida à temperatura praticamente constante T_{\text{env}}=T_{f}. Para um reservatório isotérmico, a variação de entropia é
\Delta S_{\text{viz}}=\frac{Q_{\text{viz}}}{T_{\text{env}}},
onde Q_{\text{viz}} é o calor recebido pelo ambiente (positivo se recebe calor).

Passo 3

Cálculo da variação de entropia do café ( \Delta S_{\text{café}}é) passo a passo:
  1. Calcular m c:
m c = 0,250\cdot 4190 = 1047,5\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  1. Aplicar a fórmula \Delta S_{\text{café}} = m c\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{i}}\right)é:
\frac{T_{f}}{T_{i}}=\frac{293,15}{373,15}\approx 0,785664,
\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)\approx -0,241220.
  1. Multiplicar:
\Delta S_{\text{café}} = 1047,5\cdot(-0,241220)\approx -252,7\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}.é
Interpretação breve: a entropia do café diminui (valor negativo) porque ele perde calor ao esfriar.

Passo 4

Cálculo da variação de entropia da vizinhança ( \Delta S_{\text{viz}}):
  1. Calcular o calor perdido pelo café (que é ganho pela vizinhança). O calor trocado pelo café é
Q_{\text{café}}=m c (T_{f}-T_{i}) = 1047,5\cdot(293,15-373,15)=1047,5\cdot(-80)=-83800\\ \mathrm{J}.é
Portanto o calor recebido pela vizinhança é
Q_{\text{viz}}=-Q_{\text{café}}=+83800\\ \mathrm{J}.é
  1. Como a vizinhança está aproximadamente à temperatura constante T_{\text{env}}=T_{f}=293,15\\ \mathrm{K}, a variação de entropia dela é
\Delta S_{\text{viz}}=\frac{Q_{\text{viz}}}{T_{\text{env}}}=\frac{83800}{293,15}\approx 285,9\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
Interpretação breve: a entropia do ambiente aumenta porque recebe calor; como T_{\text{env}} é relativamente baixa, cada joule recebido gera mais entropia do que cada joule perdido pelo café a temperaturas maiores.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia do universo ( \Delta S_{\text{univ}}) e interpretação:
  1. Soma das contribuições:
\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{café}}+\Delta S_{\text{viz}} \approx -252,7 + 285,9 = +33,2\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}.é
  1. Significado: \Delta S_{\text{univ}}>0 indica que o processo total (café resfriando e ambiente aquecendo) aumenta a entropia do universo; isto é característico de processos espontâneos irreversíveis. O processo é irreversível porque o calor foi transferido através de uma diferença finita de temperatura ( T_{i}>T_{\text{env}}); se a transferência fosse feita reversivelmente (diferenças infinitesimais de temperatura), teríamos \Delta S_{\text{univ}}=0.
Observação física intuitiva: cada joule transferido para o ambiente a temperatura mais baixa produz mais entropia do que o que o café perde por joule, porque a entropia muda como \Delta S=dQ/T. Assim, a soma dá um ganho líquido de entropia.

Passo 6

Resumo didático rápido (como aplicar isto numa prova):
  • Use sempre a fórmula \Delta S = m c\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{i}}\right) para corpos com c aproximadamente constante.
  • Para o reservatório isotérmico, use \Delta S_{\text{res}}=Q_{\text{res}}/T_{\text{res}}.
  • Calcule Q a partir de Q=m c \Delta T (atenção ao sinal) e some entropias para obter \Delta S_{\text{univ}}.
  • Se \Delta S_{\text{univ}}>0, o processo é espontâneo; se \Delta S_{\text{univ}}=0, é reversível; se \Delta S_{\text{univ}}<0, o processo não é espontâneo (não ocorre isoladamente).

Resposta

A) \Delta S_{\text{café}}\approx -252{,}7\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}é\nA) \Delta S_{\text{viz}} \approx +285{,}9\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\nA) \Delta S_{\text{univ}}\approx +33{,}2\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\nB) O esfriamento é espontâneo porque \Delta S_{\text{univ}}>0; o processo é irreversível (transferência de calor por diferença finita de temperatura) e gera aumento líquido de entropia no universo.

Exercícios relacionados