Uma xícara de café resfria de
até a temperatura ambiente,
. A massa de café na xícara é 250 g e sua capacidade térmica específica pode ser assumida equivalente a da água,
.
A) Calcule a variação de entropia para i. café, ii. Vizinhança, iii. café mais a vizinhança (o “universo”).
B) Explique a espontaneidade do esfriamento do café nestas condições, segundo as variações de entropia calculadas.
A) Calcule a variação de entropia para i. café, ii. Vizinhança, iii. café mais a vizinhança (o “universo”).
B) Explique a espontaneidade do esfriamento do café nestas condições, segundo as variações de entropia calculadas.
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede:
- Temperatura inicial do café:
. - Temperatura final (ambiente):
. - Massa do café:
. - Capacidade térmica específica (assumida igual à da água):
.
Converter temperaturas para Kelvin (usadas nos cálculos):
O que o enunciado pede:
A) Calcular as variações de entropia
i. do café ( ),
ii. da vizinhança/ambiente ( ),
iii. do conjunto café + vizinhança (o “universo”) ( ).
B) Explicar, com base nessas variações de entropia, por que o esfriamento do café é espontâneo nessas condições.
A) Calcular as variações de entropia
i. do café (
ii. da vizinhança/ambiente (
iii. do conjunto café + vizinhança (o “universo”) (
B) Explicar, com base nessas variações de entropia, por que o esfriamento do café é espontâneo nessas condições.
Passo 2
Conceito e fórmula útil (aula rápida e prática):
- Entropia é uma grandeza que mede, entre outras coisas, como a energia térmica se distribui em função da temperatura. Para um corpo que troca calor de forma tal que sua temperatura varia e cuja capacidade térmica
é aproximadamente constante, a variação de entropia ao mudar de para é dada por
- Se a troca de calor for apenas por aquecimento/resfriamento do corpo e a capacidade térmica é constante, então
e:
Explicando cada termo:
-
é a massa do corpo (em ). -
é a capacidade térmica específica (em ). -
é a temperatura absoluta (em ). - A derivação acima assume que internamente o corpo pode ser aproximado como em equilíbrio térmico durante o processo (modelo de corpo homogêneo com temperatura bem definida).
Observação sobre a vizinhança:
- A vizinhança (ambiente) é grande e mantida à temperatura praticamente constante
. Para um reservatório isotérmico, a variação de entropia é
onde
é o calor recebido pelo ambiente (positivo se recebe calor).
Passo 3
Cálculo da variação de entropia do café (
) passo a passo:
- Calcular
:
- Aplicar a fórmula
:
- Multiplicar:
Interpretação breve: a entropia do café diminui (valor negativo) porque ele perde calor ao esfriar.
Passo 4
Cálculo da variação de entropia da vizinhança (
):
- Calcular o calor perdido pelo café (que é ganho pela vizinhança). O calor trocado pelo café é
Portanto o calor recebido pela vizinhança é
- Como a vizinhança está aproximadamente à temperatura constante
, a variação de entropia dela é
Interpretação breve: a entropia do ambiente aumenta porque recebe calor; como
é relativamente baixa, cada joule recebido gera mais entropia do que cada joule perdido pelo café a temperaturas maiores.
Passo 5
Cálculo da variação de entropia do universo (
) e interpretação:
- Soma das contribuições:
- Significado:
indica que o processo total (café resfriando e ambiente aquecendo) aumenta a entropia do universo; isto é característico de processos espontâneos irreversíveis. O processo é irreversível porque o calor foi transferido através de uma diferença finita de temperatura ( ); se a transferência fosse feita reversivelmente (diferenças infinitesimais de temperatura), teríamos .
Observação física intuitiva: cada joule transferido para o ambiente a temperatura mais baixa produz mais entropia do que o que o café perde por joule, porque a entropia muda como
. Assim, a soma dá um ganho líquido de entropia.
Passo 6
Resumo didático rápido (como aplicar isto numa prova):
- Use sempre a fórmula
para corpos com aproximadamente constante. - Para o reservatório isotérmico, use
. - Calcule
a partir de (atenção ao sinal) e some entropias para obter . - Se
, o processo é espontâneo; se , é reversível; se , o processo não é espontâneo (não ocorre isoladamente).
Resposta
A)
\nA)
\nA)
\nB) O esfriamento é espontâneo porque
; o processo é irreversível (transferência de calor por diferença finita de temperatura) e gera aumento líquido de entropia no universo.