Se y=arcsen(raiz1-x^2), determine d yd x, sendo 0<x<1.

Passo 1

O enunciado define
y = arcsenl(raiz1 - x^2r),
com 0<x<1. Aqui vamos usar a derivada de uma função composta, a saber a regra da cadeia, e a derivada de arcsen(u).

Passo 2

Seja
u(x)=raiz1 - x^2
Então
y=arcsenl(u(x)r)
e, pela derivada de arcsen(u), temos
dydx =u'(x)raiz1 - l(u(x)r)^2

Passo 3

Calculemos u'(x). Como u(x)=(1 - x^2)^1/2, aplicando regra da cadeia,
u'(x) =12(1 - x^2)^-1/2cdot(-2x) =-xraiz1 - x^2

Passo 4

Substituindo em dydx:
dydx =-tfracxraiz1 - x^2 raiz1 - l(raiz1 - x^2r)^2 =-tfracxraiz1 - x^2 raiz1 - (1 - x^2) =-tfracxraiz1 - x^2raizx^2
Como x>0, raizx^2=x, logo
dydx =-xraiz1 - x^2;x =-1raiz1 - x^2

Resposta

dydx = -1raiz1 - x^2

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