Seja y=(ln x)^sen(2 x). Determine d yd x.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = (ln x)^sin(2x)
e pede tfracdydx.
O conteúdo aqui é derivação de função da forma f(x)^g(x), e a técnica mais direta é a diferenciação logarítmica.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar o expoente:
ln y = sin(2x),lnl(ln xr)

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo vem
ddx[ln y] = 1y,dydx
Do lado direito, por produto e cadeia,
ddxl[sin(2x)ln(ln x)r] = underbracecos(2x)cdot 2ddxsin(2x);ln(ln x) ;+;sin(2x);underbraceddx[ln(ln x)]1ln xcdot1x =2cos(2x),ln(ln x);+;sin(2x)x,ln x

Passo 4

Igualando as duas derivações:
1y,dydx =2cos(2x),ln(ln x)+sin(2x)x,ln x
Multiplicando ambos os lados por y e reescrevendo y=(ln x)^sin(2x), obtemos
dydx =(ln x)^sin(2x)l(2cos(2x),ln(ln x)+sin(2x)x,ln xr)

Resposta

dydx =(ln x)^sin(2x)l(2cos(2x),ln(ln x)+tfracsin(2x)x,ln xr)

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