Se
é definida por
, determinar implicitamente a derivada de y em relação a
, ou seja,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de
em relação a
(
), dada a equação implícita
. Estamos lidando com derivação implícita, que é usada quando
está misturado com
na equação e não está isolado. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos calcular a derivada de cada termo em
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente:
-
Derivada de
: Aqui usamos a regra do poder, onde a derivada deé . -
Derivada de
: Usamos a regra do produto, que diz que a derivada deé . Aqui, e . -
Derivada de
: Aplicamos a regra da cadeia aqui, já queé uma função de . -
Derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir todas as derivadas na equação original:
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
(ou
). Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Fatoramos
do lado esquerdo:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada implícita de
em relação a
é: