Se y = f(x) é definida por x^3 + x^2 * y + y^2 = 4 * x, determinar implicitamente a derivada de y em relação a x, ou seja, y'.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de em relação a ( ), dada a equação implícita . Estamos lidando com derivação implícita, que é usada quando está misturado com na equação e não está isolado. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos calcular a derivada de cada termo em .

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de :
    Aqui usamos a regra do poder, onde a derivada de é .
  2. Derivada de :
    Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e .
  3. Derivada de :
    Aplicamos a regra da cadeia aqui, já que é uma função de .
  4. Derivada de :

Passo 4

Agora, vamos substituir todas as derivadas na equação original:

Passo 5

Nosso objetivo é isolar (ou ). Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 6

Fatoramos do lado esquerdo:

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada implícita de em relação a é:

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