(y) lim x +infty(3x^2)^2 xx+1.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o limite . Esse exercício está relacionado com limites envolvendo potências exponenciais. Vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão e achar o limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Uma técnica útil é aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em um produto, o que facilita a manipulação. Então, vamos chamar:
L = lim x +infty(3x^2)^2 xx+1
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln L = lim x +infty 2xx+1 cdot ln(3x^2)

Passo 3

Agora, vamos simplificar ln(3x^2) = ln 3 - ln x^2 = ln 3 - 2ln x :
ln L = lim x +infty 2xx+1 cdot (ln 3 - 2ln x)
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 4

Vamos separar os termos na multiplicação:
ln L = lim x +infty ( 2xx+1 cdot ln 3 - 4xx+1 cdot ln x )
Agora, vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, olhemos para 2xx+1 = 2xx(1 + 1x) = 21 + 1x 2 quando x +infty :
lim x +infty 2xx+1 cdot ln 3 = 2 cdot ln 3
Então,

Passo 6

Agora, vamos para 4xx+1 = 41 + 1x 4 quando x +infty :
lim x +infty 4xx+1 cdot ln x = 4 cdot lim x +infty ln x = +infty
Portanto,

Passo 7

Agora, juntando os resultados:
ln L = 2 cdot ln 3 - (+infty) = -infty
Isso significa que:
L = e^-infty = 0

Resposta

O limite é .

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