(t)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Primeiro, o enunciado nos pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas: seno (
) e tangente (
). Para resolver isso, precisamos lembrar de algumas propriedades de limites e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos
por
diretamente na expressão. Calculando o numerador:
E no denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos usar outra técnica para resolver esse limite. Uma das formas mais comuns de resolver isso é aplicando a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Primeiro, derivamos o numerador
. A derivada de
é
, e a derivada de uma constante, como
, é 0. Portanto:
Agora, derivamos o denominador
. A derivada de 1 é 0, e a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Sabemos que
, então
. Substituindo isso na expressão:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
O limite é igual a
.