(t) lim x pi4 sen(x)-sen(pi4)1-tg(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Primeiro, o enunciado nos pede para calcular o limite quando lim x pi4 sin(x) - sin(pi4)1 - tan(x) se aproxima de da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas: seno ( ) e tangente ( ). Para resolver isso, precisamos lembrar de algumas propriedades de limites e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos sin(pi4) - sin(pi4) = 0 por 1 - tan(pi4) = 1 - 1 = 0 diretamente na expressão. Calculando o numerador:
E no denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos usar outra técnica para resolver esse limite. Uma das formas mais comuns de resolver isso é aplicando a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos o numerador f'(x) = cos(x) - 0 = cos(x) . A derivada de g'(x) = 0 - sec^2(x) = -sec^2(x) é , e a derivada de uma constante, como , é 0. Portanto:
Agora, derivamos o denominador . A derivada de 1 é 0, e a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
lim x pi4 cos(x)-sec^2(x)
Sabemos que cos(x)-1cos^2(x) = cos(x) cdot (-cos^2(x)) = -cos^3(x) , então . Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o limite de lim x pi4 -cos^3(pi4) quando -(raiz22)^3 = -2raiz28 = -raiz24 se aproxima de :
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é igual a .

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