y^{\prime}=\left(e^{-x}-e^{x}\right) /(3+4 y), \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y'=\frac{e^{-x}-e^{x}}{3+4y},\quad y(0)=1,
que é separável. Vamos separar variáveis e integrar ambos os lados para encontrar y(x).

Passo 2

Separe variáveis:
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-x}-e^{x}}{3+4y} \quad\Longrightarrow\quad (3+4y)\,dy=(e^{-x}-e^{x})\,dx.
Agora integre cada lado:
\int(3+4y)\,dy =\int(e^{-x}-e^{x})\,dx.
Calcule as integrais:
\int(3+4y)\,dy =3y+2y^2, \quad \int(e^{-x}-e^{x})\,dx =-e^{-x}-e^{x}+C.
Logo obtemos a relação implícita
2y^2+3y=-e^{-x}-e^{x}+C.

Passo 3

Use a condição inicial y(0)=1:
2\cdot1^2+3\cdot1=-e^{0}-e^{0}+C \quad\Longrightarrow\quad 2+3=-1-1+C \quad\Longrightarrow\quad 5=-2+C \quad\Longrightarrow\quad C=7.
Assim a solução implícita é
2y^2+3y=-e^{-x}-e^{x}+7 \quad\Longrightarrow\quad 2y^2+3y+e^{x}+e^{-x}-7=0.

Passo 4

Resolva a quadrática em y pela fórmula de Bhaskara:
o discriminante é
\Delta =3^2-4\cdot2\,(e^{x}+e^{-x}-7) =9-8(e^{x}+e^{-x}-7) =65-8\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr).
Logo
y(x) =\frac{-3\pm\sqrt{65-8(e^{x}+e^{-x})}}{4}.
Para satisfazer y(0)=1 escolhe-se o sinal +, pois em x=0 vem \sqrt{65-8\cdot2}=\sqrt{49}=7 e \bigl(-3+7\bigr)/4=1.

Resposta

y(x) =\frac{-3+\sqrt{65-8\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)}}{4}.

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