x^{2} y^{\prime \prime}-7 x y^{\prime}-20 y=0 ; \quad y_{1}=x^{10}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-7x y'-20y=0
e informa uma solução particular y_{1}=x^{10}. O que se pede implicitamente é obter a solução geral da equação, ou seja, duas soluções linearmente independentes e a combinação linear delas.
Informações relevantes:
A equação é dada para x\neq0 (pois há fatores x no denominador se colocarmos na forma padrão).
Foi fornecida uma solução conhecida \,y_{1}=x^{10}\,.
Precisamos encontrar outra solução independente y_{2} e então a solução geral.
Passo 2
Escolha do método. Observando os coeficientes x^{2},-7x,-20 vemos que são monômios com potências de x na forma característica de uma equação equidimensional (Euler–Cauchy). Para esse tipo de equação o método direto e mais simples é tentar uma solução da forma
y=x^{r},
com r constante. Vou usar esse método porque transforma a equação em uma equação algébrica para r, normalmente mais rápido em prova. Como alternativa, quando já se dá uma solução y_{1}, pode-se usar redução de ordem; eu mostrarei essa alternativa depois como verificação e para aprendizado.
Passo 3
Regra útil (pequena aula): se y=x^{r} com r constante então as derivadas são
y' = r x^{r-1},\qquad y'' = r(r-1)x^{r-2}.
Isso vem diretamente da regra do poder: derivada de x^{r} é r x^{r-1}, e derivando de novo obtemos o fator r-1.
Cada raiz fornece uma solução independente do tipo x^{r}. Assim temos as soluções
y_{1}=x^{10}\quad\text{e}\quad y_{2}=x^{-2}.
Como as raízes são distintas, as soluções são linearmente independentes. (Se quiser ver numericamente a independência, o wronskiano W(y_{1},y_{2}) não é zero: por exemplo