x^{2} y^{\prime \prime}-7 x y^{\prime}-20 y=0 ; \quad y_{1}=x^{10}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-7x y'-20y=0
e informa uma solução particular y_{1}=x^{10}. O que se pede implicitamente é obter a solução geral da equação, ou seja, duas soluções linearmente independentes e a combinação linear delas.
Informações relevantes:
  • A equação é dada para x\neq0 (pois há fatores x no denominador se colocarmos na forma padrão).
  • Foi fornecida uma solução conhecida \,y_{1}=x^{10}\,.
  • Precisamos encontrar outra solução independente y_{2} e então a solução geral.

Passo 2

Escolha do método. Observando os coeficientes x^{2},-7x,-20 vemos que são monômios com potências de x na forma característica de uma equação equidimensional (Euler–Cauchy). Para esse tipo de equação o método direto e mais simples é tentar uma solução da forma
y=x^{r},
com r constante. Vou usar esse método porque transforma a equação em uma equação algébrica para r, normalmente mais rápido em prova. Como alternativa, quando já se dá uma solução y_{1}, pode-se usar redução de ordem; eu mostrarei essa alternativa depois como verificação e para aprendizado.

Passo 3

Regra útil (pequena aula): se y=x^{r} com r constante então as derivadas são
y' = r x^{r-1},\qquad y'' = r(r-1)x^{r-2}.
Isso vem diretamente da regra do poder: derivada de x^{r} é r x^{r-1}, e derivando de novo obtemos o fator r-1.

Passo 4

Substituindo y=x^{r} na equação dada:
x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big)-7x\big(r x^{r-1}\big)-20\big(x^{r}\big)=0.
Agora simplifico cada termo:
x^{2} \cdot r(r-1)x^{r-2} = r(r-1)x^{r},
-7x \cdot r x^{r-1} = -7r x^{r},
-20 x^{r} = -20 x^{r}.
Todos os termos têm fator comum x^{r}. Como x^{r}\neq0 para x\neq0, podemos dividir por x^{r} e obter a equação característica:
r(r-1)-7r-20=0.
Agora desenvolvo:
r^{2}-r-7r-20 = r^{2}-8r-20 =0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática para r:
r^{2}-8r-20=0.
Calculo o discriminante:
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot1\cdot(-20)=64+80=144.
Logo \sqrt{\Delta}=12 e as raízes são
r=\frac{8\pm12}{2}.
Portanto
r_{1}=\frac{8+12}{2}=10,\qquad r_{2}=\frac{8-12}{2}=-2.

Passo 6

Cada raiz fornece uma solução independente do tipo x^{r}. Assim temos as soluções
y_{1}=x^{10}\quad\text{e}\quad y_{2}=x^{-2}.
Como as raízes são distintas, as soluções são linearmente independentes. (Se quiser ver numericamente a independência, o wronskiano W(y_{1},y_{2}) não é zero: por exemplo
W=\begin{vmatrix} x^{10} & x^{-2} \\\\ 10x^{9} & -2x^{-3}\end{vmatrix} = -12x^{7}\neq0\\ \text{para }x\neq0.)

Passo 7

Conclusão (solução geral): a solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes:
y=C_{1}x^{10}+C_{2}x^{-2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 8

Alternativa (redução de ordem, útil quando só se conhece y_{1}). Colocando a equação na forma padrão dividindo por x^{2}:
y''-\frac{7}{x}y'-\frac{20}{x^{2}}y=0.
Para achar uma segunda solução dado y_{1} existe uma fórmula prática:
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx,
onde p(x) é o coeficiente de y' na forma padrão. Aqui p(x)=-\dfrac{7}{x}, então
e^{-\int p(x)\,dx}=e^{-\int -\frac{7}{x}\,dx}=e^{7\ln x}=x^{7}.
Aplicando a fórmula:
y_{2}=x^{10}\int \frac{x^{7}}{(x^{10})^{2}}\,dx = x^{10}\int x^{7-20}\,dx = x^{10}\int x^{-13}\,dx.
Integrando:
\int x^{-13}\,dx=\frac{x^{-12}}{-12},
logo
y_{2}=x^{10}\cdot\left(-\frac{1}{12}x^{-12}\right) = -\frac{1}{12}x^{-2},
que é proporcional a x^{-2}. Isso confirma a segunda solução encontrada antes (constante multiplicativa pode ser absorvida em C_{2}).

Resposta

y=C_{1}x^{10}+C_{2}x^{-2}

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