Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, não homogênea.
- O termo não homogêneo é a soma de um polinômio
e de uma exponencial .
O que se pede implicitamente: encontrar a solução geral(ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).
Passo 2
Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada:
Método: usar o polinômio característico. Substituímos
, o que leva ao polinômio
Resolvendo:
logo as raízes são
(com multiplicidade
) e
,
(cada uma simples). Quando temos raízes
da forma
com multiplicidade 2, isso gera soluções constantes e lineares em
; raízes
geram
e
.
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Pelo princípio de superposição, procuramos
como soma de uma parte polinomial que reponda ao
e de uma parte exponencial que responda ao
:
Regra prática (método dos coeficientes a determinar):
- Para o termo polinomial
: normalmente tentaríamos um polinômio de grau 2, isto é . Mas como é raiz do característico de multiplicidade , qualquer polinômio de grau menor (constante ou termo em ) pode pertencer ao núcleo do operador. A regra diz: multiplicar o polinômio teste por , onde é a multiplicidade da raiz . Aqui . Assim, elevamos o grau: o teste deve ser um polinômio de grau . Podemos escrever, de forma conveniente,
(Observe que termos em
e constantes adicionais não são necessários porque os coeficientes serão determinados por equações lineares.)
- Para o termo
: como não é raiz do polinômico característico, o teste é simplesmente
Passo 4
Vamos calcular
. Assumimos
Derivadas necessárias:
Passo 5
Aplicamos o operador
sobre
:
Simplificando:
Devemos igualar essa expressão ao termo polinomial do lado direito, isto é
. Assim igualamos coeficientes para as potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
. Substituindo :
Portanto
Passo 6
Agora a parte exponencial. Assumimos
Aplicando o operador:
Queremos que isso iguale
, então
, daí
Logo
Passo 7
Temos as partes:
- solução homogênea
(encontrada no Passo 2), - parte particular polinomial
(Passo 5), - parte particular exponencial
(Passo 6).
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Vou apresentar a forma final compacta a seguir.