y^{(4)}-4 y^{\prime \prime}=t^{2}+e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{(4)}-4y''=t^{2}+e^{t}.
Informações dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, não homogênea.
  • O termo não homogêneo é a soma de um polinômio \,t^{2}\, e de uma exponencial \,e^{t}\,.
    O que se pede implicitamente: encontrar a solução geral y(t) (ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).

Passo 2

Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada:
y^{(4)}-4y''=0.
Método: usar o polinômio característico. Substituímos y(t)=e^{rt}, o que leva ao polinômio
r^{4}-4r^{2}=0.
Resolvendo:
r^{2}(r^{2}-4)=0,
logo as raízes são r=0 (com multiplicidade 2) e r=2, r=-2 (cada uma simples). Quando temos raízes r da forma 0 com multiplicidade 2, isso gera soluções constantes e lineares em t; raízes \pm 2 geram e^{2t} e e^{-2t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}e^{-2t},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Pelo princípio de superposição, procuramos y_{p} como soma de uma parte polinomial que reponda ao t^{2} e de uma parte exponencial que responda ao e^{t}:
y_{p}=y_{p}^{(poly)}+y_{p}^{(exp)}.
Regra prática (método dos coeficientes a determinar):
  • Para o termo polinomial t^{2}: normalmente tentaríamos um polinômio de grau 2, isto é At^{2}+Bt+C. Mas como r=0 é raiz do característico de multiplicidade 2, qualquer polinômio de grau menor (constante ou termo em t) pode pertencer ao núcleo do operador. A regra diz: multiplicar o polinômio teste por t^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz r=0. Aqui m=2. Assim, elevamos o grau: o teste deve ser um polinômio de grau 2+2=4. Podemos escrever, de forma conveniente,
y_{p}^{(poly)}=a t^{4}+b t^{3}+c t^{2}.
(Observe que termos em t e constantes adicionais não são necessários porque os coeficientes serão determinados por equações lineares.)
  • Para o termo e^{t}: como r=1 não é raiz do polinômico característico, o teste é simplesmente
y_{p}^{(exp)}=A e^{t}.

Passo 4

Vamos calcular y_{p}^{(poly)}. Assumimos
y_{p}^{(poly)}=a t^{4}+b t^{3}+c t^{2}.
Derivadas necessárias:
y' = 4a t^{3}+3b t^{2}+2c t,
y'' = 12a t^{2}+6b t+2c,
y^{(3)} = 24a t + 6b,
y^{(4)} = 24a.

Passo 5

Aplicamos o operador L[y]=y^{(4)}-4y'' sobre y_{p}^{(poly)}:
L[y_{p}^{(poly)}]=y^{(4)}-4y'' = 24a - 4(12a t^{2}+6b t+2c).
Simplificando:
L[y_{p}^{(poly)}]= -48a\,t^{2} -24b\,t + (24a - 8c).
Devemos igualar essa expressão ao termo polinomial do lado direito, isto é t^{2}. Assim igualamos coeficientes para as potências de t:
  • Coeficiente de t^{2}: -48a = 1 \Rightarrow a = -\dfrac{1}{48}.
  • Coeficiente de t: -24b = 0 \Rightarrow b = 0.
  • Coeficiente constante: 24a - 8c = 0. Substituindo a:
24\left(-\dfrac{1}{48}\right) - 8c = 0 \;\Rightarrow\; -\dfrac{1}{2} - 8c = 0 \;\Rightarrow\; c = -\dfrac{1}{16}.
Portanto
y_{p}^{(poly)} = -\dfrac{1}{48}t^{4} - \dfrac{1}{16}t^{2}.

Passo 6

Agora a parte exponencial. Assumimos
y_{p}^{(exp)}=A e^{t}.
Aplicando o operador:
L[A e^{t}] = A\big(1^{4}-4\cdot 1^{2}\big)e^{t} = A(1-4)e^{t} = -3A e^{t}.
Queremos que isso iguale e^{t}, então -3A = 1, daí
A = -\dfrac{1}{3}.
Logo
y_{p}^{(exp)} = -\dfrac{1}{3}e^{t}.

Passo 7

Temos as partes:
  • solução homogênea y_{h}(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}e^{-2t} (encontrada no Passo 2),
  • parte particular polinomial y_{p}^{(poly)}=-\dfrac{1}{48}t^{4}-\dfrac{1}{16}t^{2} (Passo 5),
  • parte particular exponencial y_{p}^{(exp)}=-\dfrac{1}{3}e^{t} (Passo 6).
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Vou apresentar a forma final compacta a seguir.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}e^{-2t}-\dfrac{1}{48}t^{4}-\dfrac{1}{16}t^{2}-\dfrac{1}{3}e^{t}

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