Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede: “encontre uma solução particular para a equação diferencial”
Informações dadas: a função incógnita é
; a equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes; o termo não-homogêneo (lado direito) é
. O que se pede é apenas uma solução particular
que satisfaça a equação (não é necessário a solução geral).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Explico por que: esse método é indicado quando o lado direito é uma combinação de funções simples (exponenciais, polinômios, senos/cossenos) e os coeficientes da equação são constantes. A ideia é “adivinhar” uma forma para
com constantes desconhecidas e determinar essas constantes substituindo na equação.
Antes de adivinhar, é importante checar se a forma proposta conflita com a solução da equação homogênea (isso se chama ressonância). Então primeiro encontramos a solução homogênea.
Passo 3
A equação homogênea associada é
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo,
Portanto a solução homogênea é uma combinação de senos e cossenos:
onde
são constantes arbitrárias.
Observação sobre ressonância: o termo do lado direito é
. As raízes
não são iguais a
, então não há ressonância com a exponencial
. Logo podemos tentar um palpite simples do tipo
com
constante.
Passo 4
Façamos o palpite de coeficientes indeterminados:
onde
é uma constante a determinar.
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original
:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação para
:
Logo
Passo 5
Concluímos que uma solução particular é
Verificação rápida:
, bate certinho.