Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
2 z^{\prime \prime}+z=9 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede: “encontre uma solução particular para a equação diferencial”
2 z'' + z = 9 e^{2t}.
Informações dadas: a função incógnita é z(t); a equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes; o termo não-homogêneo (lado direito) é 9 e^{2t}. O que se pede é apenas uma solução particular z_p(t) que satisfaça a equação (não é necessário a solução geral).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Explico por que: esse método é indicado quando o lado direito é uma combinação de funções simples (exponenciais, polinômios, senos/cossenos) e os coeficientes da equação são constantes. A ideia é “adivinhar” uma forma para z_p(t) com constantes desconhecidas e determinar essas constantes substituindo na equação.
Antes de adivinhar, é importante checar se a forma proposta conflita com a solução da equação homogênea (isso se chama ressonância). Então primeiro encontramos a solução homogênea.

Passo 3

A equação homogênea associada é
2 z_h'' + z_h = 0.
Formamos a equação característica substituindo z_h(t)=e^{rt}:
2 r^2 + 1 = 0.
Resolvendo,
r^2 = -\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad r = \pm i\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto a solução homogênea é uma combinação de senos e cossenos:
z_h(t) = C_1 \cos\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr) + C_2 \sin\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Observação sobre ressonância: o termo do lado direito é 9 e^{2t}. As raízes r=\pm i/\sqrt{2} não são iguais a 2, então não há ressonância com a exponencial e^{2t}. Logo podemos tentar um palpite simples do tipo A e^{2t} com A constante.

Passo 4

Façamos o palpite de coeficientes indeterminados:
z_p(t) = A e^{2t},
onde A é uma constante a determinar.
Calculamos as derivadas necessárias:
z_p'(t)=2A e^{2t},
z_p''(t)=4A e^{2t}.
Substituindo na equação original \;2 z'' + z = 9 e^{2t}\;:
2\bigl(4A e^{2t}\bigr) + A e^{2t} = 9 e^{2t}.
Fatorando e^{2t} (que nunca é zero), obtemos a equação para A:
8A + A = 9 \quad\Rightarrow\quad 9A = 9.
Logo
A = 1.

Passo 5

Concluímos que uma solução particular é
z_p(t) = e^{2t}.
Verificação rápida: 2 z_p'' + z_p = 2\cdot 4 e^{2t} + e^{2t} = 9 e^{2t}, bate certinho.

Resposta

z_p(t)=e^{2t}

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