Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
(grau com coeficiente líder ). - O denominador é o polinômio
(grau com coeficiente líder ). - A procura é pelo comportamento dessa razão quando
tende a .
Não vou resolver ainda; só reforcei o que o enunciado dá e o que pede.
Passo 2
Estratégia básica (sem jargões): para limites de frações de polinômios quando
, a parte que domina é o termo de maior potência de
em cada polinômio. Uma maneira direta e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência presente, aqui
. Vou fazer isso passo a passo e explicar por que funciona.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Escrevo cada termo dividido por
:
Cada passo acima é só fatorar
do numerador e do denominador e simplificar.
Passo 4
Agora uso o fato simples e muito usado: quando
, temos
, e em geral
para qualquer inteiro
. Intuição: conforme
cresce muito, o inverso fica cada vez menor, tendendo a zero. Assim:
Passo 5
Aplicando esses limites ao quociente obtido no Passo 3, obtemos
Passo 6
Faço a conta final:
Esse é o valor do limite pedido. Intuitivamente deu
porque os termos de maior grau em numerador e denominador são
e
, e a razão desses coeficientes é
.