Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{8 x^{3}-5 x^{2}+2 x-1}{3-4 x^{3}}

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{8x^{3}-5x^{2}+2x-1}{3-4x^{3}}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \;8x^{3}-5x^{2}+2x-1\; (grau \;3\; com coeficiente líder \;8\;).
  • O denominador é o polinômio \;3-4x^{3}\; (grau \;3\; com coeficiente líder -4).
  • A procura é pelo comportamento dessa razão quando x tende a +\infty.
    Não vou resolver ainda; só reforcei o que o enunciado dá e o que pede.

Passo 2

Estratégia básica (sem jargões): para limites de frações de polinômios quando x\to\pm\infty, a parte que domina é o termo de maior potência de x em cada polinômio. Uma maneira direta e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência presente, aqui \;x^{3}\;. Vou fazer isso passo a passo e explicar por que funciona.

Passo 3

Divido numerador e denominador por \;x^{3}\;. Escrevo cada termo dividido por \;x^{3}\;:
\frac{8x^{3}-5x^{2}+2x-1}{3-4x^{3}} = \frac{\;x^{3}\left(8-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}\right)\;}{\;x^{3}\left(\dfrac{3}{x^{3}}-4\right)\;} = \frac{8-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}{\dfrac{3}{x^{3}}-4}.
Cada passo acima é só fatorar \;x^{3}\; do numerador e do denominador e simplificar.

Passo 4

Agora uso o fato simples e muito usado: quando x\to +\infty, temos \dfrac{1}{x}\to 0, e em geral \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 para qualquer inteiro k\ge 1. Intuição: conforme x cresce muito, o inverso fica cada vez menor, tendendo a zero. Assim:
\lim_{x\to+\infty}\frac{5}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^{3}}=0.

Passo 5

Aplicando esses limites ao quociente obtido no Passo 3, obtemos
\lim_{x\to +\infty} \frac{8-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}{\dfrac{3}{x^{3}}-4} = \frac{8-0+0-0}{0-4} = \frac{8}{-4}.

Passo 6

Faço a conta final:
\frac{8}{-4}=-2.
Esse é o valor do limite pedido. Intuitivamente deu -2 porque os termos de maior grau em numerador e denominador são 8x^{3} e -4x^{3}, e a razão desses coeficientes é 8/(-4)=-2.

Resposta

-2

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