y^prime(x)=f(a x+b y+c), b neq 0
podem ser reduzidas a equações com variáveis separáveis, por meio da substituição u= a x+b y+c
a) Encontre a solução geral de y^prime=(8 x+2 y+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y′=(8x+2y+1)^2
usando a técnica de redução via substituição u=ax+by+c, pois b≠0. Vamos então aplicar esse método para transformar em equação com variáveis separáveis.

Passo 2

Definimos u=8x+2y+1. Como u depende de x indiretamente por y(x), usamos a regra da cadeia para obter
u′=du/dx=8+2y′.

Passo 3

Como y′=u^2, substituímos em u′=8+2y′ para obter a equação em u:
u′=8+2u^2.

Passo 4

Reescrevemos essa EDO como separável:
du/dx=2u2+8=2(u2+4)
que dá
du/(u^2+4)=2dx.

Passo 5

Integramos ambos os lados recordando que ∫du/(u2+a2)=(1/a)arctan(u/a):
∫du/(u^2+4)=(1/2)arctan(u/2)=∫2dx=2x+C
Logo arctan(u/2)=4x+C₁.

Passo 6

Isolamos u:
u/2=tan(4x+C₁)
u=2·tan(4x+C₁).

Passo 7

Voltamos à variável y usando u=8x+2y+1:
8x+2y+1=2 tan(4x+C₁)
2y=2 tan(4x+C₁)−8x−1
y(x)=tan(4x+C₁)−4x−1/2.

Resposta

y(x)=tanl(4x+Cr)-4x-12

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