podem ser reduzidas a equações com variáveis separáveis, por meio da substituição
a) Encontre a solução geral de
a) Encontre a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y′=(8x+2y+1)^2
usando a técnica de redução via substituição u=ax+by+c, pois b≠0. Vamos então aplicar esse método para transformar em equação com variáveis separáveis.
Passo 2
Definimos u=8x+2y+1. Como u depende de x indiretamente por y(x), usamos a regra da cadeia para obter
u′=du/dx=8+2y′.
Passo 3
Como y′=u^2, substituímos em u′=8+2y′ para obter a equação em u:
u′=8+2u^2.
Passo 4
Reescrevemos essa EDO como separável:
du/dx=2u2+8=2(u2+4)
que dá
du/(u^2+4)=2dx.
Passo 5
Integramos ambos os lados recordando que ∫du/(u2+a2)=(1/a)arctan(u/a):
∫du/(u^2+4)=(1/2)arctan(u/2)=∫2dx=2x+C
Logo arctan(u/2)=4x+C₁.
Passo 6
Isolamos u:
u/2=tan(4x+C₁)
u=2·tan(4x+C₁).
Passo 7
Voltamos à variável y usando u=8x+2y+1:
8x+2y+1=2 tan(4x+C₁)
2y=2 tan(4x+C₁)−8x−1
y(x)=tan(4x+C₁)−4x−1/2.