a) y^prime=y-x, com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício é a seguinte equação diferencial:
y' = y - x, com y(0) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações lineares desse tipo. Vamos passo a passo entender como aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a aplicação do fator integrante. A equação dada é:
y' = y - x
Podemos rearranjar para:
y' - y = -x
Aqui, vemos que é uma equação linear na forma padrão:
y' + P(x)y = Q(x)
Onde $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = -x $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, $ \mu(x) $, é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -1 $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por $ \mu(x) $:
mu(x)
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(x) \cdot y $. Ou seja:
e^-x cdot y' - e^-x cdot y = -x e^-x

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
integral ddx ( e^-x y ) , dx = integral -x e^-x , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito, $ \int -x e^{-x} , dx $. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
  • $ u = -x $ integral -x e^-x , dx $ du = -dx $
  • $ dv = e^{-x} dx $ u = -x $ v = -e^{-x} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Rightarrow
Integrando $ \int e^{-x} dx $:
du = -dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa equação:
e^-x y = x e^-x + e^-x + C
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ e^{x} $ para isolar $ y $:
e^x

Passo 8

Finalmente, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(0) = 1
C
1 = 0 + 1 + C e^0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x + 1

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