a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício é a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações lineares desse tipo. Vamos passo a passo entender como aplicar esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a aplicação do fator integrante. A equação dada é:
Podemos rearranjar para:
Aqui, vemos que é uma equação linear na forma padrão:
Onde $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = -x $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, $ \mu(x) $, é dado por:
Substituindo $ P(x) = -1 $:
Passo 4
Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por $ \mu(x) $:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(x) \cdot y $. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito, $ \int -x e^{-x} , dx $. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
- $ u = -x $
$ du = -dx $ - $ dv = e^{-x} dx $
$ v = -e^{-x} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Integrando $ \int e^{-x} dx $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ e^{x} $ para isolar $ y $:
Passo 8
Finalmente, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: