y^{\prime}=x y^{3}\left(1+x^{2}\right)^{-1 / 2}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y' = x\,y^{3}\,(1 + x^{2})^{-1/2}, \quad y(0)=1.
O conteúdo é de equações diferenciais de primeira ordem separáveis, e vamos usar o método de separação de variáveis seguido de integração para achar a solução que satisfaz a condição inicial.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro:
\frac{dy}{y^{3}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \!y^{-3}\,dy = \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}\,dx.
No lado esquerdo,
\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2\,y^{2}} + C_{1}.
No direito, faça u = 1 + x^{2}, du = 2x\,dx, então
\int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{2}\,u^{-1/2}\,du = u^{1/2} + C_{2} = \sqrt{1 + x^{2}} + C_{2}.
Juntando as constantes num único C,
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1 + x^{2}} + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1. Para x=0 a equação fica
-\frac{1}{2\cdot1^{2}} = \sqrt{1+0} + C \;\Longrightarrow\; -\tfrac12 = 1 + C \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac32.
Logo
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1 + x^{2}} - \tfrac32.

Passo 5

Isolamos y. Multiplicando por -2,
\frac{1}{y^{2}} = -2\,\sqrt{1 + x^{2}} + 3 = 3 - 2\,\sqrt{1 + x^{2}}.
Portanto
y^{2} = \frac{1}{3 - 2\,\sqrt{1 + x^{2}}},
e, escolhendo o sinal positivo para atender y(0)=1,
y(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2\,\sqrt{1 + x^{2}}}}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2\,\sqrt{1 + x^{2}}}}.

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