Use a regra da cadeia para calcular frac{\partial z}{\partial s} e frac{\partial z}{\partial t} em cada item:
z=\operatorname{sen}(\theta) \cos (\theta), sendo \theta=s t^{2} e \varphi=s^{2} t;

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia para calcular \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t} em dois casos distintos, em que
  1. z=\sin(\theta)\cos(\theta) com \theta = s\,t^{2},
  2. z=\sin(\varphi)\cos(\varphi) com \varphi = s^{2}t.
    Vamos por etapas: primeiro achar \frac{dz}{du} para u genérico sendo \theta ou \varphi, depois aplicar \frac{\partial u}{\partial s} e \frac{\partial u}{\partial t}.

Passo 2

Definindo u como a função interna \theta ou \varphi, temos
z = \sin(u)\cos(u).
Usamos a regra do produto e derivadas de seno e cosseno:
\frac{dz}{du} = \cos(u)\cos(u) + \sin(u)\bigl(-\sin(u)\bigr) = \cos^{2}(u) - \sin^{2}(u).
Reconhecemos a identidade trigonométrica
\cos(2u) = \cos^{2}(u) - \sin^{2}(u),
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\frac{dz}{du} = \cos\bigl(2u\bigr).

Passo 3

Caso 1: u=\theta=s\,t^{2}.
Calculamos as derivadas parciais de \theta:
\frac{\partial \theta}{\partial s} = t^{2}, \qquad \frac{\partial \theta}{\partial t} = 2s\,t.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{dz}{d\theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial s} = \cos\bigl(2\theta\bigr)\,t^{2},
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{dz}{d\theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial t} = \cos\bigl(2\theta\bigr)\,2s\,t.

Passo 4

Caso 2: u=\varphi=s^{2}t.
Calculamos as derivadas parciais de \varphi:
\frac{\partial \varphi}{\partial s} = 2s\,t, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial t} = s^{2}.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{dz}{d\varphi}\,\frac{\partial \varphi}{\partial s} = \cos\bigl(2\varphi\bigr)\,2s\,t,
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{dz}{d\varphi}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \cos\bigl(2\varphi\bigr)\,s^{2}.

Resposta

Caso 1 \theta = s\,t^{2}:
\frac{\partial z}{\partial s} = \cos\bigl(2\theta\bigr)\,t^{2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial t} = \cos\bigl(2\theta\bigr)\,2s\,t.
Caso 2 \varphi = s^{2}t:
\frac{\partial z}{\partial s} = \cos\bigl(2\varphi\bigr)\,2s\,t, \qquad \frac{\partial z}{\partial t} = \cos\bigl(2\varphi\bigr)\,s^{2}.

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