Sabendo que em cada equação a seguir y é definido como uma função derivável de x, determine \frac{d y}{d x} no ponto dado:
x y+y^{2}-3 x-3,(-1,1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação implícita
x y + y^2 - 3x - 3 = 0,
onde y é uma função diferenciável de x. O objetivo é aplicar diferenciação implícita (regra do produto e regra da cadeia) para encontrar \frac{dy}{dx} e, em seguida, avaliar esse resultado no ponto (-1,1).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}(x y) + \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(3x) - \frac{d}{dx}(3) = 0.
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x y) = x\,\frac{dy}{dx} + y.
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\,\frac{dy}{dx}.
E ainda \frac{d}{dx}(3x)=3 e \frac{d}{dx}(3)=0. Logo, a diferenciação implícita gera
x\,\frac{dy}{dx} + y + 2y\,\frac{dy}{dx} - 3 = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm \frac{dy}{dx}, temos
(x + 2y)\,\frac{dy}{dx} + y - 3 = 0.
Isolando \frac{dy}{dx}, chega-se a
\frac{dy}{dx} = \frac{3 - y}{\,x + 2y\,}.

Passo 4

Para avaliar no ponto (x,y)=(-1,1), substituímos na expressão:
\frac{dy}{dx}\Big|_{(-1,1)} = \frac{3 - 1}{-1 + 2\cdot 1} = \frac{2}{1} = 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados