y^{\prime \prime}=x-y^{\prime}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}=x-y^{\prime}
e pede que encontremos a solução geral y(x) (não foram dadas condições iniciais). Informações relevantes:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
  • O lado direito é a função não homogênea x (um polinômio de grau 1).
  • Não há condições adicionais fornecidas.

Passo 2

Vamos escolher um método conveniente: escrever a solução como soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa. Ou seja, procuramos
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h resolve a equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da equação completa. Essa é uma estratégia padrão para equações lineares com coeficientes constantes e funciona bem aqui.

Passo 3

Encontrar y_h: escrevemos a equação homogênea associada
y^{\prime\prime}+y^{\prime}=0.
Para resolver, assumimos uma solução do tipo exponencial y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2+r=0.
Resolvendo:
r(r+1)=0\quad\Rightarrow\quad r=0\\ \text{ou}\\ r=-1.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y^{\prime\prime}=x-y^{\prime}.
Observação sobre o método dos coeficientes indeterminados:
  • Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 (ou seja, x), a tentativa padrão seria um polinômio de grau 1, y_p(x)=Ax+B.
  • Porém, se algum termo da tentativa pertence à solução homogênea, devemos multiplicar a tentativa por x suficiente vezes para remover a duplicação. Aqui um termo constante aparece em y_h (o C_1), então a tentativa Ax+B conteria um termo constante que coincide com a solução homogênea. Por isso multiplicamos por x a tentativa polinomial de grau 1, obtendo uma tentativa de grau 2 sem termo constante livre:
y_p(x)=x\,(Ax+B)=A x^2 + B x.
(Alternativamente pode-se tentar diretamente um polinômio geral de grau 2; o termo constante será então absorvido pela parte homogênea.)

Passo 5

Calcular derivadas da tentativa escolhida. Para
y_p(x)=A x^2 + B x
temos
y_p'(x)=2A x + B, \qquad y_p''(x)=2A.

Passo 6

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial \;y^{\prime\prime}=x-y^{\prime}\;:
2A = x - (2A x + B).
Reorganizando o lado direito:
2A = x - 2A x - B.
Vamos igualar coeficientes do polinômio em x dos dois lados. O lado esquerdo é constante (não tem termo em x), o lado direito tem termo em x e termo constante. Escrevendo em termos de potências de x:
\underbrace{0}_{\text{coef. de }x} \cdot x + \underbrace{2A}_{\text{constante}} = \underbrace{(1-2A)}_{\text{coef. de }x}\cdot x + \underbrace{(-B)}_{\text{constante}}.
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de x: 0 = 1-2A \Rightarrow 2A=1 \Rightarrow A=\dfrac{1}{2}.
  • Termo constante: 2A = -B \Rightarrow B=-2A = -1.
Portanto
y_p(x)=\frac{1}{2}x^2 - x.

Passo 7

Construir a solução geral somando y_h e y_p:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{-x} + \frac{1}{2}x^2 - x.
Uma verificação rápida (opcional): calcular y' e y'' desta expressão e substituir na equação \;y^{\prime\prime}=x-y^{\prime}\; confirmaria que a igualdade é satisfeita para quaisquer C_1,C_2.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{-x} + \frac{1}{2}x^2 - x

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