e pede que encontremos a solução geral y(x) (não foram dadas condições iniciais). Informações relevantes:
É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
O lado direito é a função não homogênea x (um polinômio de grau 1).
Não há condições adicionais fornecidas.
Passo 2
Vamos escolher um método conveniente: escrever a solução como soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa. Ou seja, procuramos
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h resolve a equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da equação completa. Essa é uma estratégia padrão para equações lineares com coeficientes constantes e funciona bem aqui.
Passo 3
Encontrar y_h: escrevemos a equação homogênea associada
y^{\prime\prime}+y^{\prime}=0.
Para resolver, assumimos uma solução do tipo exponencial y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y^{\prime\prime}=x-y^{\prime}.
Observação sobre o método dos coeficientes indeterminados:
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 (ou seja, x), a tentativa padrão seria um polinômio de grau 1, y_p(x)=Ax+B.
Porém, se algum termo da tentativa pertence à solução homogênea, devemos multiplicar a tentativa por x suficiente vezes para remover a duplicação. Aqui um termo constante aparece em y_h (o C_1), então a tentativa Ax+B conteria um termo constante que coincide com a solução homogênea. Por isso multiplicamos por x a tentativa polinomial de grau 1, obtendo uma tentativa de grau 2 sem termo constante livre:
y_p(x)=x\,(Ax+B)=A x^2 + B x.
(Alternativamente pode-se tentar diretamente um polinômio geral de grau 2; o termo constante será então absorvido pela parte homogênea.)
Passo 5
Calcular derivadas da tentativa escolhida. Para
y_p(x)=A x^2 + B x
temos
y_p'(x)=2A x + B, \qquad y_p''(x)=2A.
Passo 6
Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial \;y^{\prime\prime}=x-y^{\prime}\;:
2A = x - (2A x + B).
Reorganizando o lado direito:
2A = x - 2A x - B.
Vamos igualar coeficientes do polinômio em x dos dois lados. O lado esquerdo é constante (não tem termo em x), o lado direito tem termo em x e termo constante. Escrevendo em termos de potências de x:
\underbrace{0}_{\text{coef. de }x} \cdot x + \underbrace{2A}_{\text{constante}} = \underbrace{(1-2A)}_{\text{coef. de }x}\cdot x + \underbrace{(-B)}_{\text{constante}}.
Comparando coeficientes:
Coeficiente de x: 0 = 1-2A\Rightarrow2A=1\RightarrowA=\dfrac{1}{2}.
Uma verificação rápida (opcional): calcular y' e y'' desta expressão e substituir na equação \;y^{\prime\prime}=x-y^{\prime}\; confirmaria que a igualdade é satisfeita para quaisquer C_1,C_2.